Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

80 ГЛ. III. ЦЕПИ И УСЛОВИЯ ОБРЫВА ЦЕПЕЙ
цепь и каждое множество несравнимых между собой элементов из Р имеют не более, чем счетную мощность, то само Р счетно. Другая интересная система условий для цепей была предложена Дж. Биркгофом1). Они эквивалентны условиям: «а**»
GO
объединение V /„ любой возрастающей последовательности
п=1
А < ^а < ^з < • • • открытых интервалов есть открытый интервал, условию Суслина «б'» и «в**» все интервалы изоморфны между собой.
Цепи, удовлетворяющие условиям «а**» и «в**», называются однородными линейными континуумами. Они представляют собой естественные обобщения системы Д* вещественных чисел. Примеры однородных линейных континуумов, не изоморфных R*, были найдены Васкесом и Субиета, а также Аренсом. Представляется более возможным решить проблему Суслина для однородных линейных континуумов, нежели для общего случая.
Упражнения
1. Показать, что любое плотное подмножество Т плотного подмножества S цепи С плотно в С.
2. (а) Показать, что в любой непустой цепи С, удовлетворяющей условию «в**», для любых заданных а < Ь существует такое х, что а < х < Ъ.
(б) Установить, что для любого а соотношения х < а и х > а имеют решения. (Указание: Использовать изоморфизм между (—оо, +оо)и(а, +оо).)
3. (а) Показать, что любой линейный однородный континуум С является «компактным по последовательностям» в обычном топологическом смысле, что каждая последовательность элементов из С содержит сходящуюся подпоследовательность.
(б) Показать, что любое непустое С имеет самое меньшее мощность континуума (Субиета—Васкес).
4. (а) В произвольной цепи С сравнить между собой следующие три кардинальных числа: а) наименьшую мощность плотного подмножества (Кантор), б) наименьшую верхнюю грань мощностей множеств неперекрывающихся открытых интервалов (Суслин), в) наименьшую верхнюю грань мощностей убывающих (трансфинитных) последовательностей (аг, 6j) > (а2, 62) > (а3, Ь3) > ... > (а<о, 6(о) > (аш+1, 6u>+i)> ... открытых интервалов.
(б) Убедиться, что для случая Л* О R% «б» дает большее число, нежели «в».
5. Показать, что цепь изоморфна подмножеству множества Л* тогда и только тогда, если любая более чем счетная система интервалов содержит более чем счетную подсистему, в которой каждые два интервала имеют общий элемент2).
Проблема 19. Решить одну из форм проблемы Суслина или в общем случае, или для случая линейного однородного континуума.
*) См. Васкес и Субиета [1, 2]. На стр. 6 первой из указанных работ имеется пробел, который оставляет нерешенной упоминаемую ниже проблему. Другие ссылки имеются у Аренса [1].
8) Кнастер [2].

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика