Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

8____________ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ_____________
Под отношением конгруентноста в алгебре А понимается отношение эквивалентности *) х = у (6) со свойством замены для каждого /»:
Если
ач==2/4 (6) для i — 1,. . . , ft, то (1)
/»(»!, . . . , Ж,,) ==/.(»!, . . ., 2/J (8).
Это означает в действительности, что если разбить А на подклассы элементов, «эквивалентных» по mod 6, то для каждой последовательности Xlt . .., Хп таких подклассов при п = п (а) множество элементов fa.(xl, ... ,жп) при xk?Xk, находится в одном и том же подклассе Y, который мы будем обозначать через /а(^г, . -., Хп). Это определяет гомоморфный образ At алгебры А с теми же однозначными операциями, что и в А. Обратно, если Ф отображает гомоморфно А на алгебру В и мы определяем х = у(Ф) в А в том смысле, что Ф(х) = Ф(у) в В, то мы приходим к отношению конгруентности. Этим устанавливается однозначное в одну сторону соответствие между отношениями конгруентности на алгебре А и ее гомоморфными образами.
Далее, под прямым произведением X х Y двух алгебр X и Y, имеющих одни и те же операции /а, понимают алгебру, элементами которой являются пары [х, у] с х?Х и y?Yn в которой алгебраическая операция совершается покомпонентно, т. е.,
/» ([»!, У!], • • •• К, У»1) = [/. (*1, • • • , *„), /а(Ун • • • . У„)]. (2)
Аналогично определяется прямое произведение п алгебр.
С произвольным классом 31 алгебр, имеющих одни и те же операции /л, и с произвольным кардинальным числом и (конечным или бесконечным) ассоциируется свободная ^-алгебра F с п образующими ah, такая, что любое однозначное отображение Ф элементов ak в элементы из A^W можно продолжите до гомоморфизма F в А. (Подмножество G из алгебры Q называется «множеством образующих» для Q, если наименьшая подалгебра из Q, содержащая G, есть само Q.)
Очевидно, что Рп(Щ определяется однозначно с точностью до изоморфизма. В самом деле, если F и F', с образующими ah и %, обе удовлетворяют определению, то соответствие ай*--*а^ можно
*) Отношение эквивалентности есть попросту бинарное отношение, удовлетворяющее условию тождественности х = х, условию, что х = у влечет за собой у = х, и условию, что х = у и у = г влечет за собой х = z. Элементарное изложение отношений конгруентности и гомоморфизмов можно найти у Биркгофа и Маклейна [1], гл. VI, § 14.

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика