Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

70 ГЛ. III. ЦЕПИ И УСЛОВИЯ ОБРЫВА ЦЕПЕЙ
присоединены — оо и +<х> (т. е. О и /). Вообще, если X и У— две полные цепи, то полными являются также X@Y и XoY. По такому способу можно построить большое многообразие неизоморфных полных цепей.
Определение. Пусть {х*} — некоторое направленное множество элементов полной цепи. Мы определяем
Lim inf {хл} = supp {inta>p хл}, Lim sup {хл} = inf p (supa>p xa]. (2) Из неравенства минимакса (5) главы II следует, что
Lim inf {ха} ^ Lim sup {хл}. (3)
Теорема 8. В полной цепи хл—>а тогда и только тогда, если
Lim inf {xa} = Lim sup {#a) = a. (4)
Доказательство. Выражение ха—>а, в соответствии с топологическим предисловием, означает, что каждый открытый интервал (Ь, с), содержащий а, содержит для некоторого р все хл с а>р. Но если это имеет место, то Infa>pa;a>&, и, так как это справедливо для всех b < a, Lim inf {хл} > a. Двойственным образом из Ха.—>а следует, что Lim sup fжа} < а, откуда в силу (3) a = Lim inf {хл} = Lim sup \хл}. Обратно, если Lim inf {xa.} = а = Lim sup [xa] и о 6(6, с), то Infa>pa;a>6 и Supa>T хл < с для некоторых р, т; следовательно, если 8>р, f, то Ха.?(Ь, с) для всех а>8, а потому хл~>а.
Следствие. Если в полной цепи хл —»а, то существуют направленные множества ?af« и иа|о с ^а<жа<ма.
(Обозначение iafa означает, что из a Теорема 9. Цепь С полна тогда и только тогда, если она топологически компактна J).
Доказательство. Пусть {Wa}—произвольное семейство открытых множеств, покрывающее полную цепь С. Так как каждое Wa. является объединением открытых интервалов, то С покрывается также семейством открытых интервалов Fa> p р. Пусть А—множество всех а таких, что [О, а] может быть покрыто конечной подсистемой интервалов Fa_ р. Заметим сперва, что suipA = b?A, ибо некоторое Fa< g содержит b и, следовательно, некоторое а ?А, а потому суще-
Этот результат принадлежит Хаару и Кенигу [1].

 

1 10 20 30 40 50 60 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика