Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

СО ГЛ. III. ЦЕПИ И УСЛОВИЯ ОБРЫВА ЦЕПЕЙ
Принцип трансфинитной индукции. Пусть {Рл}— вполне упорядоченное множество утверждений. Если мы можем доказать для каждого а, что из справедливости всех Р^ при Р < а вытекает справедливость Ра, то каждое РЛ справедливо.
Доказательство. Не может быть первого неверного РЛ; следовательно, множество всех неверных Ра пусто.
Мы можем сформулировать этот принцип в иной форме. Под предельным числом во вполне упорядоченной последовательности мы понимаем элемент а такой, что для любого заданного р < а существует f, удовлетворяющее соотношению fi < 7 <а. Тогда, по определению, мы получаем как следствие
Второй принцип трансфинитной индукции. Пусть {Ра]—вполне упорядоченное множество утверждений. Чтобы доказать справедливость всех Ра, достаточно доказать, что а) Рг справедливо, б) если справедливо РЛ, то справедливо РЛ+1, в) если а.—предельное число и все Р$ при р < а справедливы, то Ра. справедливо.
Другие вполне упорядоченные множества можно легко построить путем выполнения ординальных операций.
Теорема 3. Ординальные сумма и произведение двух любых вполне упорядоченных множеств V, W сами вполне упорядочены.
Доказательство. Если S—какое-нибудь непустое подмножество множества V@W, то или S^.W и содержит первый элемент, или пересечение S f] V множеств S и F непусто и содержит первый элемент, который является (так как v < w для любых »tF, w?W) первым элементом в S. Далее, если S— какое-нибудь непустое подмножество множества VoW, то множество Т элементов в 6 У таких, что (у, ш)? S для некоторого пу непусто и должно иметь первый элемент i>j. Множество элементов w?W, таких, что (vl,w)^S непусто по построению; пусть W-L—первый элемент этого множества. Тогда (у1} wt) есть первый элемент в S.
Вследствие этого мы можем строить много вполне упорядоченных можеств: «> @ 1, ш © 2, ..., ш @ «> = 2 о (о, (2 о «>) (J) 1 и т. д. Эти множества принято записывать, используя обычные (т. е. кардинальные) символы сложения и умножения, например (о+1, (о + 2, ..., 2ш, 2в)+1, ..., но, желая быть последовательными, • мы будем придерживаться наших общих обозначений.
Пусть W—какое-нибудь вполне упорядоченное множество. Тогда W должно содержать первый элемент w^, W — wt должно содержать первый элемент wz и т. д. Следовательно, если W бесконечно, то оно должно содержать начальный интервал, изоморфный о), состоящий из элементов wlt w%, wa, ... Следовательно, мы можем писать W = ш @ R, где R есть остаточный интервал. Повторяя процесс, мы будем иметь или W = о> @ п для некоторого»

 

1 10 20 30 40 50 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика