Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

50 гл. ii. СТРУКТУРЫ
сечение существует и является компонентой ai в Xi. Остальные компоненты элемента at суть 0. Следовательно, atCX? и a=supiOi. Далее, элементы 2<а в Р представляют собой такие элементы, каждая компонента t\. которых содержится в соответствующей компоненте элемента а. Следовательно,
Лемма. Множество А элементов Z Предположим теперь, что Р можно разложить в произведение множителей Xi, а также в произведение множителей У,. Определим элементы е\. так, как это было сделано выше, и аналогичным образом определим элементы e'j так, что х^.е', образуют множество Г*, изоморфное YJ. Обозначим, наконец, через Z\ множество .элементов t < ei f] ву в Р. Тогда в силу
леммы каждое X* является произведением Z} с верхним инде-
ксом i, а каждое Y* — произведением Z] с нижним индексом /. Мы получаем
Теорема 7. Любым двум разложениям частично упорядоченного множества Р с 0 и I соответственно на множители Xi и Yi можно сопоставить разложение Р на множители Z] такое, что произведение Z] при фиксированном i есть Xi и произведение Z] при фиксированном / есть Y,.
Следствие. Если Р можно разложить на неразложимые множители, то это разложение единственно в том точном смысле, что любое разложение Р на множители можно получить путем группировки этих неразложимый множителей в подсемейства а).
Теорема 8 (Дилуорс). Всякая структура L с относительными дополнениями, имеющая конечную длину, является кардинальным произведением «простых» структур с относительными дополнениями.
Доказательство. Пусть 6 — какое-нибудь отношение кон-груентности; / — идеал элементов х = 0 (mod 6) и /' — дуальный идеал элементов ж = / (mod 0). Так как L имеет конечную длину,
*) Эти результаты были доказаны автором для дистрибутивных структур в [1], стр. 457, а впоследствии для общих структур [6], стр. 616. Аналогичную теорему в применении к другим алгебраическим системам доказали недавно Йонсон и Тарский [1]. Повсюду мы игнорируем одноэлементные множители; в противном случае не было бы неразложимых множителей. Тривиальное рассуждение по индукции показывает, что если Р имеет конечную длину п, то оно может быть представлено как произведение самое 'большее п неразложимых множителей. Накаяма [2] показал, что теорема единственности разложения на множители справед- » лива для любого направленного множества, двойственное которому есть ; также направленное множество, но не может быть справедливой для , всех частично упорядоченных множеств, ибо (1+ 23) (1+2+22)=(1 + 2а+24). i
i з
,1

 

1 10 20 30 40 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика