Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

360 ГЛ. XVI. ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ровку для «детерминистского» случая. Наш более геометрический подход избегает необходимости давать различные формулировки и имеет дополнительное преимущество в том, что дает легко обозримые способы для выявления существенно различных случаев. Чтобы показать это, мы рассмотрим сперва случаи, в которых теорема 1 принимает специальные формы; мы используем систему обозначений § 3.
Рассмотрим «тихистический» случай «независимых вероятностей», при котором рТ не зависит от Т, как и в случае последовательных бросаний пары игральных костей. Это есть случай, когда Р стягивается посредством Т в точку, a L проектируется на ось, проходящую через эту точку. С другой стороны, в противоположном, детерминистском случае классической механики, мы имеем изометрическое преобразование L.
Имеется промежуточный «стохастический» случай, типичный для теории зависимых вероятностей: здесь множество .Р несколько стягивается, но не превращается в точку. Случаем особой важности является тот, в котором выполняется следующее условие, впервые отмеченное Марковым.
Гипотеза Маркова. Для некоторого г в L существует положительная нижняя грань d для преобразований рТг распределений р. Это означает, что d > 0 и что d^.pTr для всех р? Р.
Эта гипотеза выполняется в примере 1, поскольку тасовки карт, различающиеся транспозицией всегда возможны на практике, а симметрическая группа порождается транспозициями. Она выполняется также в примере 3 при условии, если жидкость находится в ограниченном сосуде, а также в примере 4. Она не выполняется в примерах 2 и 5. Мы изучим теперь следствия из этой гипотезы.
§ 6. Устойчивые распределения; теорема Маркова
Мы определим сперва распределение р как «устойчивое» относительно оператора перехода Т тогда и только тогда, если оно является неподвижной точкой для Т, т. е. тогда и только тогда, если рТ = р. В этом случае в силу теоремы 1 распределения, первоначально близкие к р, остаются близкими к р после преобразования Т и его итераций.
Теорема 2. Множество точек произвольного (Ь}-простран-ства, оставляемых неподвижными каким-нибудь оператором перехода Т, является метрически замкнутым, подпространством и подструктурой.
Доказательство. Так как Т непрерывно, множество метрически замкнуто в L. Так как Т переводит верхние (нижние) грани в верхние (нижние) грани и является стягиванием, оно переводит единственную верхнюю грань x~--f{]g для / и g,

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 380 390 400


Математика