Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

350 гл. xv. ВЕКТОРНЫЕ СТРУКТУРЫ
2. Распространить приведенную в тексте лемму на все структуры с относительными дополнениями.
3. Доказать, что распределение р [х] является а-распределением тогда
и только тогда, если из .rj f~) TJ- 0 для лсех i ф f следует р

Г °° ~\
I V Xi I -_=
Li-l J
/\. Показать, что каждое х?А определяет элемент тх пространства, сопряженного L(A): mx\f] = /\x].
5. Показать, что диаметр множества D(A) есть либо нуль, либо в точности два.
6. Распространить результаты § 6 на случай, когда А есть «обобщенная булева алгебра» без /.
Проблема 108. Может ли любая о-полная /-группа быть продолжена до заполненной, полной векторной структуры1)?
§ 14. сг-Распределения
Мы рассмотрим теперь подмножество LZ(A) о-аддитивных оценок на булевой о-алгсбре А, удовлетворяющих условию /[0] = О, и соответствующее подмножество D, (А) о-распределений.
Лемма. Каждое из нижеследующих условий непрерывности эквивалентно <з-аддитивности: a) xnl'Q влечет /(жп)— >0 и б) хп— ->х в топологии упорядоченности влечет / [хп] — >f [x].
Доказательство. Поскольку уп — >у тогда и только тогда, если существует последовательность хп10, удовлетворяющая условию \уп~ у\^хп, где \у„ — у\ обозначает симметричную разность между уп и у, условия «а» и «б» являются экви-
71
валентными. Но V#i— -> V xi; следовательно, если / непрерыв-
i=l г=1
со п со
но, то / [ V Xi] = Lim [ V xi\ < J1 / [Xi] . Обратно, поскольку хп j О
i=l i=l t=l
со
влечет a;j= V (^i — ^i! i), где (зч — ^i+i) П (xi~- «y+i) = 0, если
i=l
oo
i — a'i+i], если / о-аддитивно. Но отсюда,
oo
очевидно, следует, что / [хп] = У1 / [ж4 — a;i+i], чем и завершает-
i=n
ся доказательство.
Теорема 17. .Сели А есть булева о-алгебра, то Ь„(А)естъ метрически замкнутый l-идеал в L(A).
Доказательство. Имеем |/ [хп] \ < ||/ж-/|| + /т [ж„]. Поэтому, если каждое /т непрерывно и ||/т — /||— >0, то жп|0 влечет / [жп] — >0; таким образом, Ь^(А] метрически замкнуто.
Эта проблема решена А. Г. Пинскером [5, 6]. (Прим. ред.)

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 370 380 390 400


Математика