Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

340 ГЛ. XV. ВЕКТОРНЫЕ СТРУКТУРЫ
Векторная структура, являющаяся банаховым пространством и удовлетворяющая условию (5), будет называться банаховой структурой. Легко показать, что в банаховой структуре
[|/|| = || |/| || для всех /. (6)
Мы покажем теперь, что в банаховой структуре L метрическая сходимость эквивалентна относительно равномерной звездной сходимости и что непрерывные аддитивные функционалы на L суть просто ограниченные аддитивные функционалы. Следовательно, во всех известных случаях метрические понятия могут быть заменены понятиями, связанными с простой упорядоченностью 1).
Лемма 1. Никакая векторная структура L, содержащая такую последовательность {/„}, что все последовательности finfn] ограниченны по упорядоченности, не может быть превращена в банахову структуру.
Доказательство. Предположим, что L можно превратить в банахову структуру; положим Х„= п/||/п||. Если бы и было верхней гранью для всех Х„/п, то ||м|| превышало бы каждое п, поскольку ||Х„/п|| = п.
Лемма 2. В любой банаховой структуре операции f-\-g, t П ё и 1 U ё метрически равномерно непрерывны.
Доказательство. В силу определения и формулы (20) главы XIV мы имеем
где о обозначает любую из операций +, f) и \J. В силу (5) — (6) отсюда вытекает соответствующее метрическое неравенство; следовательно, все три операции равномерно непрерывны с модулем непрерывности единица в обычной метрике ||/—- g\\.
оо оо оо
Следствие. Если 2 а„ = а, 2 ^п =~= Ь и 2 хп = х в мет-
71=1 П=1 П=1
рическом смысле и an<#n<&n для всех п, то а<а;<6.
Лемма 3. Любая сепарабелъная банахова структура L обладает слабой единицей е.
Доказательство. Пусть {/„}—любое счетное, метрически
оо
1
полное подмножество в L. Определим е= /] , , |/п|. Для
^•J ^ II / II
п=1
х) Поскольку эти идеи упорядоченности применимы также к неметрическим топологическим линейным пространстпам, как, например, в двойственном пространстве Кете — Теплица, предс~авлялось бы целесообразным провести параллель между обычной теорией метрических линейных пространств и нормированных колец и самостоятельной полной теорией векторных структур и структурно упорядоченных колец с приложениями к характерным случаям. Такой анализ еще не был проведен. Ср. Джемс, Михал и Вайман [1J; Стон [101.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 360 370 380 390 400


Математика