Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

330 ГЛ. XV. ВЕКТОРНЫЕ СТРУКТУРЫ
Доказательство предоставляется читателю. Легко также показать, что если исходные векторные структуры являются полными или о-полными, то таковым же будет их прямое произведение. Отсюда следует, что пространство /Г* всех векторов [х1г ..., хп] с п вещественными компонентами, пространство Rd всех бесконечных последовательностей хг, х2, х3, ... вещественных чисел и пространство Rc всех вещественных функций f(x), определенных на интервале 0<ж<1, являются полными векторными структурами. Эти обозначения ясяы сами по себе, если принимать систему обозначений со степенями гл. I и полагать, что в. п с обозначают, соответственно, счетную бесконечность и степень континуума.
Ясно также, что любое подпространство векторной структуры, которое, кроме того, является подструктурой, есть векторная структура. Это значит, что если подмножество содержит вместе с любыми / и g также f-\-g, / U ?> / П S и каждое X/, то оно является векторной структурой относительно тех же самых операций.
Эти предположения выполняются для следующих множеств функций: подмножество В в Дс, состоящее из всех ограниченных функций; цодмножество (6) в №, состоящее из всех ограниченных последовательностей; подмножество С в Rc, состоящее из всех непрерывных функций; множество (с) в Rd, состоящее ив всех сходящихся последовательностей; более обще, они выполняются для непрерывных функций С (X) на любом топологическом пространстве X. Они выполняются также для множества D(X) функций на любом таком X, допускающих лишь конечное число точек разрыва, для множества М измеримых (по Лебегу) функций на вещественной прямой, для подмножества Мр функций с суммируемыми р-мт степенями, для 'множества (/р) в Rd
оо
всех последовательностей, для которых сумма 2 \хь\р конечна.
&==!
Наконец, пусть Г—любая (бесконечная) группа взаимно однозначных отображений пространства X в себя; назовем функцию «почти периодической» (в смысле Бохнера), если любая бесконечная последовательность ее трансформаций при помощи Г содержит равномерно сходящуюся подпоследовательность. Тогда вещественные функции на X, почти периодические относительно Г, удовлетворяют нашим предположениям1).
Большая часть из этих примеров рассматривается как метрические или топологические векторные пространства у С. Бана-
х) Если h — f\Jg и h(aTn) любая последовательность трансформаций функции h, то мы можем выбрать подпоследовательность и подподпоследовательность трансформаций, для которых как /, так и g равномерно сходятся, вследствие чего то же самое имеет место и для Л.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 350 360 370 380 390 400


Математика