Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

320 ГЛ. XIV. СТРУКТУРНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ
второй вытекает из двойственных соображений. Резюмируя, получаем следующий результат *) .
Теорема 18. Бесконечные дистрибутивные законы (22) — (23) справедливы во всякой полной 1-группе.
Следствие. Любая а-полная l-группа G является топологической группой и топологической структурой в своей топологии упорядоченности: из хп— >х и уп—*у следует хп-\-уп-^>х-\-у,
ЯпПУп-^ПУ» я«и Уп~^хИУ-
Доказательство. Случай групповой операции является
типичным. Мы полагаем Kn=Vh>n^h и г>п= Vfe>n2/fc; тогда в силу определения (см. гл. IV, § 8) /\ип — х и Дип = г/. В силу определения имеем также, используя дважды (22),
Lim sup {жп + «/„}= Л { V (хт + ут)} = Л { V
n h, ft>n
= A{V [V (зъ + Ы]}=Л{У К + »n]} = Л
n
Далее, для любых заданных т и п, ит + ип>иш+п + Ут+п; следовательно, используя дважды (22), имеем
Л {«„ + «„}< Д (вт + о„} = Л{Л (Вт + »„)}= Л [ит + у} = х + у.
п т, п т п т
Двойственным образом Liminf {хп-}-уп} ^-х-\-у, чем и завершается доказательство. Доказательство для структурных операций использует (23) вместо (22); см. теорему 14 гл. IX.
Упражнение
Пусть в Z-группе G выражение хп — * х означает, что существуют последовательности tn t x, Unix такие, что tn ^ Хп ^ ип для всех п. Назовем {«„} О- регулярным, если для некоторой последовательности г>„ I 0 | хп — а:п+р |<г>п для всех целых положительных чисел и, р. Доказать, что если всякая монотонная 0-регулярная последовательность сходится к пределу, то всякая 0-регулярная последовательность 0-сходится. Вытекает ли из этого, что группа G а-полна? Заметим, что всякая сходящаяся последовательность является 0-регулярной.
§ 11. Замкнутые Z-идеалы
Пусть / — любой /-идеал /-группы G, обладающий дополнением /'. Тогда любое agG имеет одну «компоненту» а' в G/J и одну а" в GjJ'; кроме того, так как / ("]/' = 0, элемент а вполне определяется парой (а', а"). Далее, / состоит из пар (О, a"), a J' из пар (а', 0); так как J + J' = G, (а',0) и (0, а")
1) Этот результат принадлежит Л. В. Канторовичу [4], теоремы 10 — 21, который предполагал коммутативность. Как было замечено у Биркгофа [18] (ср. ниже теорему 19), в доказательстве коммутативность не используется. См. также по поводу даваемого ниже упражнения Эверет [2] и Эверот и Улаы [1], стр. 211—212, а также [LT], § 140.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика