Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

310 ГЛ. XIV. СТРУКТУРНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ
Проблема 98. Вытекает ли в /-группе Ли из «а>иЬ неравенство а > 6? Справедливы ли результаты, приведенные выше в упр. 3(6), упр. 4 и упр. 5 (а) для произвольной /-группы Ли? Является ли каждая /-группа Ли односвязной *)?
Проблема 99. Справедливы ли упр. 4 и упр. 5 (а) в любой /-группе, имеющей конечное число образующих в обычном теоретико-групповом смысле?
§ 7. Просто упорядоченные группы; архимедов случай
Просто упорядоченная группа, или упорядоченная группа, определяется обычно как частично упорядоченная группа, удовлетворяющая условию
Р4. Для любых заданных хну либо ж>г/, либо г/>а;.
Таким образом, это есть частично упорядоченная группа, являющаяся цепью в смысле гл. III, или, эквивалентно этому, частично упорядоченная группа, в которой каждый элемент либо положителен, либо отрицателен, либо нуль. Будучи цепью, упорядоченная группа является структурой, а потому /-группой.
Мы видели (см. теорема 7), что во всякой /-группе каждый элемент, отличный от нуля, имеет бесконечный порядок. Обратно, имеет место 2)
Теорема 14. Любая абстрактная коммутативная группа А, все элементы которой, за исключением нуля, имеют бесконечный порядок, может быть просто упорядочена.
Доказательство. В такой группе уравнение пх — та имеет самое большее одно решение. Действительно, из пх=пу следует п(х— -г/) = 0, откуда х — у. Если пх = та имеет решение,
то мы обозначим его через - — аи заметим, что все законы век-
торной алгебры справедливы для определенного так умножения на рациональные скаляры.
Под вполне упорядоченным рациональным базисом в А мы понимаем вполне упорядоченное (конечное или бесконечное) подмножество элементов а» из А такое, что каждый ненулевой элемент из А является конечной рациональной комбинацией
элементов аа, в то время как из 2 «t «-({) = 0 следует, что каждое щ — 0, или, эквивалентно этому, из 5j ~~^~ а»(*) — 0 сле-
•*-"
х) По поводу этих вопросов см. Биркгоф [19].
2) Этот результат принадлежит Леви [2J. Интересное алгебраическое изучение абелевых групп без кручения было проведено Бэром [2].

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика