Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

300 ГЛ. XIV. СТРУКТУРНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ
состоит из всех таких «неубывйющих» функций (функций, для* которых из х>у следует f(x)>f(y}). Здесь /* (я) — положительная вариация функции / (х) в обычном смысле.
Поучительным примером дискретной некоммутативной /-группы является следующий. (Такая группа должна быть-бесконечной в силу теоремы 7.)
Пример 6. Группа G имеет три образующих а, Ъ, с бесконечного порядка и определяющие соотношения а + Ъ— с + а,. a-\-c—b + a, b-\-c — c+b. G* содержит та-j- nb + п'с тогда и толька тогда, если m > 0, или т = 0, в то время как и>0 и w'>0.
Мы дадим теперь два примера Z-групп Ли1).
Пример 7. Группа G состоит из всех пар (х, у) вещественных чисел, и сложение определено по формуле
(х, у) + (х', у') = (х + х', у + у').
G* состоит из тех пар, у которых х > 0 или х — 0, у>0.
Пример 8. G есть группа по умножению всех матриц; следующего вида:
/lac1 X = l О 1 Ъ \0 О 1,
X > означает, что а *> Q, или a = 0 и 6 > 0 или a -— Ъ — О и с > 0..
Следующий важный пример некоммутативной бесконечной непрерывной /-группы был рассмотрен довольно подробно Эверетом и Уламом [1] см. также Бетти и Уокер [1].
Пример 9. G есть группа с естественным умножением всех гомеоморфизмов интервала 0<ж<1. G* состоит из тех гомеоморфизмов f(x), которые удовлетворяют условию /(ж)>ж дла всех х. Как структура, G является, таким образом, подструктурой приведенной в примере 4 структуры, но групповая операция здесь иная. Таким образом, /+ (х) есть наибольшее из чисел х и f(x).
Упражнения
1. (а) Доказать подробно, что примеры 1—5 суть абелевы i-группы, (б) Доказать, что примеры 6—9 суть Z-группы.
2. Показать, что нижеследующие системы суть частично упорядоченные группы или близки к таковым, но не являются вообще структурамиг
(а) G —группа целых чисел по сложению; G* состоит из целых чисел п, больших, чем два.
(б) G—мультипликативная группа всех отличных от нуля рациональных чисел; G* состоит из всех целых чисел.
г) По вопросу об Z-группах Ли см. Биркгоф [19].

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика