Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

30 ГЛ. I. ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
кружочком на d [х] единиц выше, чем 0. Если х покрывает у, то существует связная цеш> x>y>yi>.-.~>0oix до 0 длины d [у] Ц-1, и обратно. Следовательно, х покрывает у тогда и только тогда, если х>у и d[x] = d[y]-\-l, и отрезки в диаграмме множества Р соединяют только элементы на соседних уровнях.
Лемма. Пусть Р произвольное частично упорядоченное множество, имеющее 0 и I, в котором все цепи конечны. Тогда Р удовлетворяет условию Жордана—Дедекинда в том и только в том случае, если существует целочисленная функция d [х] такая, что
х покрывает у тогда и только тогда, если х> у и d [х] = d [у] + !•(*) • Доказательство мы предоставляем читателю; результат можно распространить на случай, когда выполняется условие Мура— Смита и все ограниченные цепи конечны.
Упражнения
1. (а) Показать, что в примере 1, § 2 d[P] есть число различных точек в / и что условие Жордана—Дедекинда выполняется.
(б) Показать, что в примере 2, § 2 условие Жордана—Дедекинда выполняется, но что отсутствуют элементы, покрывающие 0.
(в) Показать, что условие выполняется для фиг. 1,«—1,6," но не выполняется для фиг. 1,в.
2. Показать, что элементы размерности один в частично упорядоченном множестве с 0 являются его «точками».
3. (а) Показать, что если X и У—цепи (конечные или бесконечные), тоЛГфУиЛГОУ также цепи.
(б) Когда XY будет цепью?
4. (а) Показать, что если X и У частично упорядоченные множества конечной длины, то d[XY] = d[X Ф Y]~d[X] + d[Y], в то время как d[XoY]=d\X] d[Y] + d[XY].
(б) Показать, что d[X + Y]-max [d[X], d[Y}}, d[xY] + l-
= (d[y]+l) (в) Что вы можете сказать об отдельных элементах в предшествующем случае?
5. Построить частично упорядоченное множество из пяти элементов, удовлетворяющее условию Жордана—Дедекинда, но не обладающее функцией размерности d[x] такой, что d[x] — dly] + l, если х покрывает у.
6. (а) Доказать (или опровергнуть), что кардинальное произведение любых двух частично упорядоченных множеств конечной длины, удовлетворяющих условию Жордана—Дедекинда, также удовлетворяет этому условию.
(б) Показать, что 2м не удовлетворяет условию Жордана—Дедекинда для бесконечных цепей (что все максимальные цени между одними и теми же конечными точками изоморфны) [LT].
7. Показать, что конечное частично упорядоченное множество Я является теоретико-множественным объединением п цепей тогда и только тогда, если каждое (п + 1)-элементное подмножество из Р содержит сравнимую пару1) (Дилуорс).
х) Соответствующий разбор Р как произведения цепей см. в статье Душника и Миллера [1]. См. также гл. IT, § 4, упр. 6.

 

1 10 20 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика