Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

290 ГЛ. XIII. СТРУКТУРНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ
В самом деле, (1)—-(!') имеют место в любой Z-группе (см. гл. XIV, § 10). Окончание доказательства очевидно.
По той же самой причине класс всех полунепрерывных сверху вещественных функций образует полную коммутативную /-полугруппу, если в качестве групповой операции взято сложение. То же можно сказать в отношении класса всех субгармонических функций одного, двух или большего числа переменных. Это же, кстати, справедливо для класса всех нигде не положительных субгармонических функций и т. д., и т. д.
В случае субгармонических функций частное 0: а имеет интересное истолкование. Это есть объединение всех субгармонических функций, имеющих те же граничные значения, что и супергармоническая функция — а; следовательно, эта функция гармоническая. Вообще, гармонические функции суть субгармонические функции h, аддитивные обратные которым являются гармоническими, и все h: а также являются гармоническими (имеют обратные).
Упражнение
Доказать, что эндоморфизмы по объединениям любой цепи образуют дистрибутивную структуру.
Проблема 93. Является ли структура всех эндоморфизмов по объединениям произвольной структуры полудедекиндовой?
§ 5. Алгебра отношений
Пусть Г—произвольный класс элементов а, $,-[,... Под бинарным (или диадическим) отношением на Г понимают любое правило г, которое указывает для каждой упорядоченной пары (а, р) элементов из Г, что либо отнощение г имеет место между аир (символически, ат-р), либо оно не имеет места (символически, ат-'р).
Если Г состоит из и элементов а1? ..., ап, то можно установить взаимно однозначное представление отношений г на Г «матрицами отношений» Цтч/Ц, состоящими из нулей и единиц. Оно определяется посредством
_ j 1, если a.ira.j,
\ О, если сцг'а,- (т. е. в противном случае). '
Так, отношение равенства е соответствует единичной матрице вц=1 и вц = 0, если i Ф /. //t/ль-отношение О соответствует нулевой матрице Oj,- = 0 для всех i, j; универсальное отношение / матрице /4/ = 1 для всех i, /.
Мы определим /•< s в соответствии с логическим понятием «/• влечет s» следующим образом:
/•

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика