Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

280 ГЛ. XIII. СТРУКТУРНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ
Структура L называется коммутативной или ассоциативной,
если, соответственно, выполняются условия
ху = ух, (5)
х (yz) = (ху) z (6)
для всех x,y,z?L. Если структура L условно полная и удовлетворяет неограниченным дистрибутивным законам
и
то она называется полной т-структурой, или cm-структурой. Ассоциативная т-структура с единицей называется структурно-упорядоченной полугруппой, или l-полугруппой; а если она полна, то ее называют cl-полугруппой.
Легко проверить, что в примере 1 дедекиндовы идеалы образуют коммутативную с/-полугруппу с нулем. Так, (!') следует из того, что \/ Ко. является теоретико-множественным объединением объединений (в смысле теории идеалов) конечного числа идеалов Кл\ идеал, состоящий из одного только числа 0, удовлетворяет условию (2).
Теорема 1. В любой т-структуре мы имеем1):
из а<6 следует xa^,xb и ау^Ьу для всех х, у, (7)
(а П b) (a U b) < ba U ab для всех а> Ъ. (8) Если т-структура имеет единицу е, то
из a U Ь = е следует a f] Ъ — Ъа \J ab, (9)
u3a\Jb = a\Jc = e следует a (J be = a \J (b f) с) = е. (10)
Если она имеет элемент z < е, удовлетворяющий условию zx = xz = z для всех х, то этот элемент есть нуль.
Доказательство. Утверждение (7): из а<6 следует by = (a\J b)y = ay\J by. Утверждение (8): в силу (7) (а [~] b) (a U b) = (а ' f) b) a\J (af}b) b <
Утверждение (9): если a U b — e, то в силу (8) a f] 6 Утверждение (10): очевидно, что e>a, b, с, откуда а {] be > a >aa, 6a, ac. Следовательно,
e = e[] ee>a]J bc>aa]J ba[j ac]J bc = (a]J b) (a[j c) — ee — e.
x) Формулы (7) —(10) имеются у Сэртэна [1], стр. 39; они обобщают до некоторой степени более ранние результаты Дедекинда, Уорда и Дилу-орса.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика