Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

270 ГЛ. XII. ПРИЛОЖЕНИЯ К ЛОГИКЕ И К ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
гильбертова пространства; пусть Ея обозначает оператор ортогонального проектирования на Sa. Для заданного ф предсказание
x?La, где Ьл есть множество чисел х > а, (3')
имеет вероятность быть выполненным, даваемую выражением
Рл = \^Ел\2 = ^Еа.Е*^. (4')
Относительно операций счетного объединения, пересечения и взятия дополнения множества La порождают о-тело Ф всех борелевских подмножеств L спектра (см. гл. XI, § 1). Соответствующие операции на полной структуре замкнутых подпространств гильбертова пространства дают булеву алгебру замкнутых подпространств SL, которая есть фактически Ф по модулю множеств меры нуль (как и в § 4) Ортогональные проектирования EL на SL порождаются, в свою очередь, операторами Еа посредством умножения, сложения по модулю два («булево сложение», см. гл. X, § 3) и перехода к пределу; получаемое в результате булево кольцо изоморфно также неатомной булевой алгебре из § 4.
Следовательно, если А имеет непрерывный спектр, то апостериорные i 1верждения относительно А соответствуют боре-левским подмножествам L спектра по модулю множеств меры нуль. Априорная вероятность предсказания XgL дается в квантовой теории посредством
PL = \^EL\* = tyELEtty*. (4")
Более обще, если А, В, С, ... любое множество перестановочных наблюдаемых, то мы знаем, что каждое утверждение L соответствует замкнутому подпространству SL гильбертова пространства.
При отсутствии физической очевидности мы составим следующую гипотезу.
Гипотеза. Линейная сумма любых двух замкнутых подпространств, соответствующих наблюдаемым свойствам, сама соответствует наблюдаемому свойству.
Отсюда будет следовать, что любая линейная сумма X \J Y, ортогональное дополнение X' и пересечение X fj Y — (X' (J Y')r таких замкнутых подпространств соответствуют наблюдаемым свойствам. Таким образом, логика квантовой механики является дедекиндовой структурой с ортодополнениями.
Итак, дистрибутивный закон логики теряет силу даже в конечной области. (Бесконечная дистрибутивность отсутствовала уже в модели § 4.) Характерно, что дистрибутивный закон выполняется для одновременно наблюдаемых свойств, но ни для каких других. (Две величины являются «одновременно на-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика