Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

260 ГЛ. XI. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
что и требовалось доказать. Мы переходим теперь к отрицательным результатам.
Теорема 12. Во всякой алгебре с мерой мы имеем для любого счетного множества элементов Xi [i = l, 2, 3, . ..]
РО
inf (V ?/i) = 0, если не существует точек (положительной
6 меры). (9)
Кроме того, если для всех i V ja\ — I и ^[Л > 0, то
r(i)
"* [At (V a})] > О для некоторой функции г (г)1). (10)
Доказательство формулы (9). Если точек не существует, то мы можем найти для любого е > 0 такие г/i, что
О < г/i < ач и т [yi] < е/2г. Отсюда следует, что m[V yi] <
t=i
оо
<; 2 т [Уг] < s- Следовательно, меняя выбор элементов гу{, имеем
т[/\ (V Уг)] < е для всех s > 0, а потому Д (V 2/0 = 0.
i=l . i=l
Доказательство формулы (10). Для каждого е>0
r(i)
и i мы можем выбрать столь большое r(i), что т[\У а1] >
t r(i> '"
> т [/] — е/2 . Отсюда следует, что т [Дг V «*.] > те [/] — е. Этим
доказано (10), если т[1] > 0; доказано даже, что
sup [т [ At V о}]} = то [/] . (10')
r(i) ;=1
Предыдущие результаты могут быть получены более просто, если мы отождествим элементы, симметричная разность которых имеет меру нуль.
Следствие 1. Алгебра борелевских множеств по модулю множеств первой категории не изоморфна никакой алгебре с мерой.
Действительно, если мы возьмем в качестве х\. интервалы с рациональными концами, то V Уг ~ / при любом выборе элементов г/i таких, что Х)<2А<;Г{. Сравнивая со следствиями из теорем 7, 10, мы пол /чаем
1) Условие [9] и следствия 1—2 принадлежат Уламу и автору [1],. а также Дж. Нейману [4], ч. 4. Интересный родственный результат см. у Шпильрайна [2], стр. 304. Условие (10) и теорема 13 принадлежат С. Банаху и Куратовскому [1]; С. Банах [1]; У лам [1].

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика