Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

250 гл. xi. ПРИЛОЖЕНИЯ к ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
множествами, из леммы 1 и индуктивных соображений следует, что каждое борелевское множество'конгруентно «регулярному» открытому множеству по mod/. (Любое открытое множество S конгруентно S**, в то время как замкнутое множество С конгруентно С'*— С1'1 по модулю нигде не плотной границы первой категории.)
Лемма. В полном метрическом пространстве или в локально компактном пространстве никакие два различных «регулярных» открытых множества не конгруентны по модулю множества первой категории.
Доказательство1). Мы легко сведем все к случаю регулярных открытых множеств S > Д Й = Л (~) 5 и S = AyB. Тогда множество S f) R* > 0 будет регулярным и открытым, что позволяет нам свести рассмотрение к случаю S > 0. Предположим, что S = Nl U N2 U Ns U • • •» гДе & ~ нигде не плотные множества. Тогда в силу упр. 2 § 5 S f] N[ содержит замкнутую сферу Si радиуса, не превышающего 1/2; по индукции «Sft fl N'k+i содержит замкнутую сферу Sk+i радиуса, не превышающего l/2fe+J. Метрический предел множеств Sk принадлежит S, но не принадлежит VArfe, чем завершается доказательство для случая полного метрического пространства. В локально компактном случае мы используем при доказательстве компактные Sh; детали доказательства мы предоставляем читателю.
Объединяя предыдущие результаты, нами получена 2)
Теорема 7. Во всяком полном метрическом или локально компактном пространстве X булева а-алгебра борелевских множеств в X по модулю множеств первой категории и структура открытых множеств по модулю нигде не плотных множеств являются обе изоморфными полной булевой алгебре «регулярных* открытых множеств пространства X.
Следствие. Если X—(локально) компактное метрическое пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, то фактор-алгебры теоремы 1 изоморфны пополнению с помощью сечений алгебры Вт.
Упражнения
1. Описать алгебру «регулярных» открытых множеств пространства X, если X есть сумма «открытого» подмножества эвклидова пространства и дискретных точек.
2. Проделать то же самое для случая, когда X—гильбертово про \ странство с метрической топологией; со слабой топологией. I
J) В доказательстве исправлена допущенная автором неточность. {Прим. перев.)
2) Многое в этом результате принадлежит Уламу и автору [1]. Приведенная выше теорема 6 в значительной мере принадлежит Макнилу.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика