Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

220 ГЛ. X. БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
операциями, удовлетворяющая следующим постулатам:
N1. a(b + c) = ab + ac. N1'. (а + Ь) с*=ас + be.
N2. Существует такой элемент 1, что ai = a для всех а.
N3. Существует такой элемент 0, что а + О — a = 0-fo для
всех а. N4. Каждому а соответствует по крайней мере одно такое а',
что aa' = 0 и a + a' = l.
Отметим, что идемпотентность, коммутативность и ассоциативность этих двух операций не предполагается. Мы доказываем теперь
(Т1) аа = аа + 0 = аа + аа' = а (а + а') = al — о.
Путем несколько больших выкладок мы доказываем
(Т2) (а')' = а для всех а и всех (а')'.
Доказательство, (а')' = 0+ (а')' (а')' —
= а>')' + («')>')' =
= («' + («')') («У = !(«')' =
Отсюда следует, что
(N4') a'a = 0 и a'+a=t,
а также, что дополнения единственны. [Действительно, если а' любое дополнение а, то а' — ((а')')' для любого ((«')')']• Далее,
(ТЗ) aO = 0 = Oa для всех а.
Доказательство. 0 = aa' — a (a1 -f-0) =
= аа' + оО = 0 + аО = аО
Но в силу Т2 каждое a = 6', где Ь = а'. Отсюда следует, что если 0=1, то
- l = a-l = a для всех а.
Следовательно, за исключением этого тривиального одноэлементного случая, 0 =? 1. Отныне мы будем предполагать, что 0=jfcl. Другим следствием является
(N2')- la = (a + a')a==aa-fa'a = a + 0 = a для всех а.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика