Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

210 ГЛ. IX. ДИСТРИБУТИВНЫЕ СТРУКТУРЫ
Таким образом, а* есть попросту наибольший элемент, имеющий 0 в пересечении с а, в случае, если таковой существует.
Теорема 15. Полная структура L является структурой с относительными псевдодополнениями тогда и только тогда, если она удовлетворяет первому тождеству из (20').
Доказательство. Предположим, что L удовлетворяет первому тождеству из (20'); пусть заданы а и Ъ. Пусть далее В обозначает множество всех у$, удовлетворяющих соотношению а П У% < ь- Тогда а П V вУ? = VB (а П Уъ)<Ь; следовательно, элемент VsJ/p = с удовлетворяет соотношению а |~| с < Ь, и а f) у$ < Ъ влечет ?/р<с; следовательно, а *Ь существует. Обратно, предположим, что L — структура с относительными псевдодополнениями, и пусть Ъ = V в (я Пур)- Очевидно, что а |~] ?/р < Ъ для каждого у$; следовательно, каждое ур <а*6 и Vвур< я*Ь. Подставляя в тождественное отношение а |~| (а* 6) < Ь, мы получаем а П V ву$ < < Ъ= VB(# П 2/р); но обратное неравенство имеет место в любой полной структуре, чем и завершается доказательство.
Следствие. Любая структура с относительными псевдодополнениями является дистрибутивной и любая топологическая дистрибутивная структура является структурой с относительными псевдодополнениями.
Так как подалгебры любой абстрактной алгебры удовлетворяют первому тождеству из (20'), т. е. имеют непрерывную операцию объединения, идеалы любой дистрибутивной структуры образуют структуру с относительными псевдодополнениями. Аналогично, открытые подмножества любого топологического пространства образуют структуру с относительными псевдодополнениями (см. гл. XI, § 5). Далее (см. гл. XII, § 7), логики Брауэра тесно связаны со структурами с относительными псевдодополнениями.
Соответствие а —> а* является, очевидно, связью Галуа в любой структуре с относительными псевдодополнениями L. Поскольку также отношение х Г[у = 0 симметрично, мы заключаем в силу гл. IV, § 6,
а<а*, а* = а***, а<6 влечет а*>Ь*,
(а U Ь)* = а* П ь* и (а Г) Ь)* >а* (J Ь*. (23)
Далее, «замкнутые» элементы из L, удовлетворяющие соотношению а —а**, образуют полную структуру А, в которой объединения задаются новой операцией a\Jb — (a (J Ь}**, в то время как операция пересечения та же самая, что и в L. Поскольку
(a U а*)* = а* П «** = 0, а У а* = 0* = / и
= /. (23')

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика