Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

200 ГЛ. IX. ДИСТРИБУТИВНЫЕ СТРУКТУРЫ
не содержащийся в ж; следовательно, существовало бы s = xU г > х\ двойственно этому, в D существовало бы t < x. Следовательно, эндоморфизмы в D, и —» и f] ж им—»• и U ж отождествляли бы различные элементы. Но, как и в следствии 1 теоремы 2, из и П ж = у Р) а; и и (J ж = у [J ж следует и = у; следовательно, соответствие d—^ (с? f) ж, d U х) давало бы полупрямое разложение D. Мы заключаем, что D не может содержать элемента, отличного от 0 и /, откуда, очевидно, и вытекает лемма.
Следствие. Любая дистрибутивная структура L изоморфна кольцу множеств1}.
Доказательство. Случай L=l тривиален. ЕслиЬ^!, то L представимо как полупрямое произведение структур, изоморфных 2, каждую из которых мы будем называть точкой и обозначать через ра. Каждому а ? L мы сопоставим функцию / такую, что /(jDa) = 1, если /^-компонента элемента а есть /, и /(уэа) = 0 в противном случае. Это есть характеристическая функция множества А точек ра, таких, что /^.-компонента элемента а есть /. Поскольку А определяет все /^-компоненты элемента а, соответствие является взаимно однозначным. Кроме того, объединение и пересечение в L соответствуют, очевидно, для каждой /^-компоненты, объединению и пересечению для соответствующих множеств; это просто хорошо известное исчисление характеристических функций. Следовательно, мы установили изоморфизм, чем и завершается доказательство.
Упражнение
Показать, что любой изоморфизм дистрибутивной структуры L (отличной от 1) с кольцом множеств соответствует представлению L в виде полупрямого произведения структур, изоморфных 2.
§ 6. Идеалы
Мы видели уже (см. гл. II, § 5 —6 и гл. V, теорема 12), что идеалы любой структуры L сами по себе образуют структуру. Кроме того, легко показать, что в этой структуре / ("} К есть просто множество всех s f) t, где s?J, t?K. Если структура L дистрибутивна, то верно также, что / U К есть множество всех s\Jt[s?J, t?K]. Действительно, пересечение всех идеалов в L, содержащих /иК, содержит, очевидно, каждое такое s\Jt. Но, обратно, поскольку (s jj t) (J (siU^t) — (5 в то время как ? г) Ниркгоф [1], теорема 25.2. Интересное историческое исследование типа конструкции, использованной в первоначальном доказательстве, было проведено Стоном [8]. Первый пример использования этой конструкции был дан, невидимому, Тарскиы [3|.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика