Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

20 . ГЛ. I. ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
Многие важные частично упорядоченные множества двойственны самим себе (т. е. антиизоморфны самим себе). Так, например, множество примера 1, § 2, двойственно самому себе; соответствие, переводящее каждое подмножество в свое дополнение, взаимно однозначно и переворачивает отношение включения. Аналогично, множество всех линейных подпространств и-мерного эвклидового пространства, содержащих начало координат, двойственно самому себе; соответствие, переводящее каждое подпространство в свое ортогональное дополнение, взаимно однозначно и переворачивает отношение включения.
В этих случаях двойственность самому себе имеет период два: трансформация (х1)' трансформации х' произвольного элемента х есть х. Мы будем называть двойственности самим себе (или антиавтоморфизмы) периода два инволюциями.
1. (а) Показать, что имеется точно 2 неизоморфных частично упорядоченных множества из двух элементов, каждое из которых двойственно самому себе.
(б) Показать, что имеется 5 неизоморфных частично упорядоченных множеств из трех элементов, из которых 3 двойственны самим себе.
2. (а) Пусть Gt(n) обозначает число неизоморфных частично упорядоченных множеств из п элементов. Показать, что G1(4) = 16, G!(5) = G3
(б) Пусть G* (п) обозначает число различных частичных упорядочиваний п элементов. Показать, что Gf (2) = 3, G?(3) = 19, G? (4) = 219. Будет ли G*(5) = 4231?
(в) Сколько из предыдущих множеств будет двойственных самим себе •частично упорядоченных множеств?
3. Показать, что частично упорядоченные множества из трех элементов •обладают в семи из десяти возможных случаев изотопными отображениями на частично упорядоченные множества из двух элементов.
4. (а) Показать, что система всех замкнутых линейных подпространств гильбертова пространства, частичво упорядоченная по теоретико-множественному включению, имеет инволюцию.
(б) Показать, что система всех линейных подпространств гильбертова пространства не имеет антиавтоморфизма. (Указание. Не выполняется свойство, двойственное свойству в упр. 3 (б), гл. IV, § 9.)
5. Показать, что любое изотонное отображение в одного частично упорядоченного множества на другое можно однозначным образом представить как произведение усиления упорядоченности и «склеивания» (см. § 4, примечание).
§ 4. Квази-упорядоченность
Многие математические системы обладают отношениями, которые удовлетворяют Р1 и РЗ, но не удовлетворяют Р2. Мы назовем такие отношения квази-упорядоченностями.
Например, R — кольцо целостности с единицей и арй означает, что ах=*Ь для некоторого х в R. Или, Г — класс топологических пространств и SpT означает, что Т гомеоморфно подмножеству

 

1 10 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика