Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

180 ГЛ. VIII. ДЕДЕКИНДОВЫ СТРУКТУРЫ С ДОПОЛНЕНИЯМИ
матрицы «полярности» |] а^-1| состоящими из нулей, за исключением a0i = l,
«и= —*•
(в) Показать по индукции, что и—нечетное число и что мы можем
сделать a2i( 2i+1 = l = —a2i4-i 2»' а все остальные коэффициенты—нулями.
(г) Установить, что Л должно быть коммутативным.
Проблема 56. Какие недезарговы проективные геометрии на плоскости допускают .ортодополнения?
§ 9. Нейтральные элементы и идеалы
Мы видели (теорема 5, следствие), что условие для элемента быть нейтральным эквивалентно условию принадлежности центру структуры L. Кроме того, имеет место
Теорема 10. Элемент принадлежит центру дедекиндовой структуры с дополнениями L тогда и только тогда, если он имеет единственное дополнение^).
Доказательство. В любой структуре L = M x N элемент [/, 0] может иметь дополнением только [0, /]; следовательно, никакой элемент центра не может иметь более одного дополнения. Обратно, предположим, что элемент а имеет единственное дополнение а' и что n{~]a = Q. Тогда, по предположению, элементы и, а и любое дополнение (и (J а)' элемента и [J а являются независимыми элементами с объединением /; следовательно, и (J (м У а)' — а' и и < а'. Таким образом, а' содержит каждое и, для которого ир)а = 0. В частности, поскольку [(a fj х)' ("] х] р| а = 0 независимо от х, (а р) х)' [") х содержится в а' так же, как и в х, и
x = (af\x)[][(a[\x)' Г) я] <(af\x)[](a' [}х)^х\^х = х.
Следовательно, х — (а [~] х) [J (a' f"| х), и каждое x?L может быть записано в виде у [J z [z/ Теперь мы обобщим теорему 5.
Теорема 11. Отношения конгруентности на L находятся во взаимно однозначном соответствии с нейтральными идеалами N в L, т. е. идеалами, содержащими вместе с любым элементом а все перспективные элементы.
Доказательство. Предположим, что N определяет отношение конгруентности на L, как и в теореме 3, гл. II, и что а ? /V и Ъ перспективны с осью перспективности с. Тогда
1) Этот результат принадлежит Дж. Нейману [4], ч. 1, теоремы 5.3—5.4. Утверждение теоремы 4.5 в [LT1 неверно.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика