Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

160 гл. vii. ПОЛУДЕДЕКИНДОВЫ СТРУКТУРЫ
2. (а) Показать, что существует гомоморфизм по объединениям, отображающий Ж-структуру 22 на цепь 3.
(б) Доказать, что каждый структурно-гомоморфный образ Ж-струк-туры является Ж-структурой. (Указание. Показать, что любая точка переходит в точку или в 0.)
3. Показать, что любая интервальная подструктура и кардинальное произведение Ж-структур является Ж-структурои.
4. (а) Показать, что структура, двойственная структуре всех подгрупп любой р-группы конечного порядка р", является полудедскипдовой структурой. •
(б) Показать, что она не являетйя Ж-структурой, если только р-группа не есть элементарная абелева группа порядка рп.
о. Показать, что подгруппы любой конечной группы, входящие в композиционные ряды (так называемые «композиционные подгруппы»), образуют подструктуру структуры всех подгрупп, двойственная которой является полудедекиндовой*).
6. (а) Показать, что структура всех разбиений системы из п предметов на части изоморфна подструктуре структуры подгрупп симметрической группы степени п. (Указание. Сопоставить разбиению те перестановки, имеющие гс-подмножества в качестве импримитивных множеств.)
(б) Распространить на бесконечный случай. (Лёвиг. Указание. Проделать то же самое, но взять только перестановки, оставляющие на месте все предметы, за исключением конечного числа.)
7. (а) Показать, что симметричная структура разбиений степени п не имеет собственных отношений конгруентности.
(б) Распространить на случай, когда п бесконечно. (Орэ [8], стр. 626.)
8. (а) Показать, что и и и' составляют модулярную пару тогда и только тогда, если типологический граф для п и и' (имеющий я-подмно-жества AI и гс'-подмножества A'j в качестве вершин, причем AI и A'j соединяются отрезком тогда и только тогда, если А\, (~) A'j > 0) не имеет циклов2).
(б) Установить, что данное Вилкоксом условие полудедекиндовости выполняется-даже для разбиений бесконечных множеств.
(в) Применить другие условия полудедекиндовости.
9. Показать, что структура всех разбиений любого конечного графа на связные подграфы является полудедекиндовой. Когда она будет Ж-структурой? Каков ее центр? Применить к проблеме раскрашивания карты (см. гл. I, § 12).
10. Показать, что симметричные структуры разбиений и структуры подгрупп не удовлетворяют никакому тождественному соотношению для •структурных полиномов, кроме тех соотношений, которые вытекают из LI—L4. (Использовать теорему Уитмена.)
11. (а) Показать, что разбиения любого пространства с мерой на конечное число неперекрывающихся измеримых подмножеств образуют полуде-декиндову структуру.
(б) В каком смысле разбиения на счетное число неперекрывающихся измеримых подмножеств образуют полудедекиндову структуру? В предположении, что множества меры нуль не учитываются.
12. (а) Показать, что А-сферы и А-плоскости (* = 0, 1, 2, ..., п—1) в эвклидовом я-пространстве / образуют вместе с 7 и пустым множестом О Af-структуру L, длины п + 2. (Замечание. 0-сфера есть пара точек.)
J) См. Виланд [1]. Тот факт, что композиционные подгруппы замкнуты относительно взятия пересечения, является очевидным.
а) Орэ [8J, стр. 583; также Дюбрейль и Дюбрейль-Жакотин [1]. По поводу других теоретико-структурных вопросов о разбиениях см. Борув-«а [1, 2]. По поводу упр. 12 см. Изуми [1].

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика