Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

150 гл. vii. ПОЛУДЕДЕКИНДОВЫ СТРУКТУРЫ
поэтому из ха U у „. < с вытекает хл = (ха (J у а.) П х < с П х и из хлиу*>с вытекает жа = (ха U у а.) П ж>с П ж- Поскольку хс?{хл} и г/об (2/»}' то мы заключаем, что жс {_] yc = x «<(eU0)n(*Ue) = [('U0)ri(*Uy)] Л («U*)« так как
в силу L5, применяемого дважды,
Мы заключаем, что c — xc\Jyc?{xa.\Jya.}; таким образом, эта цепь максимальна, что и требовалось доказать.
Упражнения
1. Показать, что для любой структуры L справедливы утверждения: а) если структура L дедекиндова, то («) отношение модулярности для шр элементов в L является симметричным, б) если имеет место (а), то имеет место и (-2), в) если имеет место (2), то имеет место и (5').
2. Показать, что если два любых элемента в L можно соединить коночной максимальной цепью, то из (5') вытекает («). Доказать аналог соотношения (1) для этого случая (Капланский).
3. Показать, что любая структура конечной длины обладает изотонной
137 функцией, принимающей вещественные значения 0, тг > ~г > ~о" . • • • > такой,
2 4 о
что имеет место (1).
4. (а) Показать, что 1 ф (1 ф R) ф 1 является структурой, удовлетворяющей усл'овию (5'), но не удовлетворяющей условию (2); здесь R есть цепь рациональных чисел (Капланский).
(б) Показать, что 1 ф (Л^Н) ф 1 удовлетворяет условию (а) и двойственному условию, но не удовлетворяет условию, что все максимальные цепи, связывающие одни и те же точки, являются изоморфными (Капланский).
Проблема 44. Вытекает ли из условия (т) условие (а)? Что можно сказать, если имеет место одно из условий для репей? (Ср. Вилкокс [1].) Вытекает ли из условия (f) и двойственного ему дедекиндовость? Что можно сказать по поводу структур, идеалы которых удовлетворяют условию (;')? (Ср. Дил-уорс [4].)
Проблема 45. Можно ли теорему 12 (Орэ) из гл. VI, видоизменив ее соответствующим образом, распространить на симметричные элементы полудедекиндовых структур?
§ 2. Примеры
Пусть теперь R — произвольное ассоциативное кольцо с единицей 1; рассмотрим множество и-векторов ? = (#1, ..., хп), •»! — (ylt .... уп) с компонентами из R. Мы определим сложение

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика