Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

140 ГЛ. VI. ПРИЛОЖЕНИЯ К АЛГЕБРЕ
3. Показать, что в лемме из § 7 мы можем так перенумеровать элементы х* , что каждое а? может замещать элемент Xj.
4. (а) Показать, что в той же лемме для каждого х-г существует z?, которым можно заменить xi, и такое, что Xj может быть также заменено на х{.
(б) Показать, что иногда элементы невозможно перенумеровать так, чтобы для всех i ац можно было бы замещать элементом xl и наоборот.
§ 8. Теорема Орэ
Несколько более важной является следующая теорема, принадлежащая Орэ1). Назовем элемент е дедекиндовой структуры прямым объединением элементов аг, . . . , ап (в обозначениях e = a1 х ... X ап), если элементы ац независимы и имеют своим объединением е.
Теорема 12. Пусть L произвольная дедекиндова структура конечной длины. Если I имеет два представления аг х • . . X ат и #iX ... X Ъп в виде прямого объединения неразложимых элементов, то га = га и элементы at и bj попарно проектпвны.
Доказательство. Пусть (Ц = aa X . . . X «i-i X «i+i X - . X. ат и bj=b1X...Xbi_iX by+iX...X6n. Тогда 7=:а4Ха^ = 6/Х ~Ъ} для всех »', /. Если /=6,Xai для некоторых i, f, то мы скажем, что а4 замещаемо элементом bj. Мы покажем, что каждое а-г замещаемо некоторым Ь,; не нарушая общности, мы предположим, что г — 1.
Случай I. Если a1U^,- = a1U Ь} — 1 для некоторого /', то по размерности
a [a,] = d [I] - d [b~] 4- d (a, f) ОД =*d[bt] + d [а, fib,] > d [b}].
Аналогично, rf_[ft,-]>rf[o1]. Этим доказано, что d [a1] = d[bi], откуда d [ax f| i/] = d [a1 fj 6;] = 0. Мы заключаем, что аг f] bj = = ^("1 i; = 0, а потому ^ и 6/ взаимно замещаемы.
1) Историческая справка. Аналогичный результат для общих конечных групп был впервые получен Веддербарном [1]; случай абе левых групп принадлежит Кронекеру [1]. Пробел в доказательстве Веддербарна был восполнен Ремаком [1], стр. 293. Более поздние работы О. Ю- Шмидта [1], Круля [1], Фитинга [1] и Коржинека [1] содержат перенесение теоремы на группы с операторами. Орэ сделал доказательство чисто теоретико-структурным [2], стр. 272, проложив тем самым путь для дальнейших обобщений. См. также Орэ [3] и А. Г. Курош [5,8]. Предлагаемая здесь новая формулировка, вместе с теоремами 3, 4, 6, 8, была доложена на конференции, посвященной двухсотлетию Принстона (1946). [М. И. Граев [2] и А. X. Лившиц [2] продолжили исследования А, Г. Куроша [5, 8] о прямых разложениях структур. В этом же направлении идет работа Холстинского [1], содержащая, однако, более частные результаты. (Прим. ред.)]

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика