Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

130 ГЛ. VI. ПРИЛОЖЕНИЯ К АЛГЕБРЕ
6. Показать, что существуют гомоморфизмы луп на мультипликативные системы, причем последние не являются лупами или даже квазигруппами (Киокемейстер и Бэйтс).
Проблема 31. Существует ли квази-группа, отношения конгруентности на которой не перестановочны? Может, ли такая квази-группа быть лупой или быть конечной?
Проблема 32. Достаточно ли предполагать в доказательстве соотношения (2), что из их = а;(в) следует м=1(6)?
§ 2. Прямые разложения
Мы установим теперь два фундаментальных свойства алгебр с перестановочными отношениями конгруентности.
Теорема 3. Отношения конгруентности на произвольной алгебре с перестановочными отношениями конгруентности образуют дедекиндову структуру, в которой 6 (J 6' = 66' = 6'6.
Доказательство. Так как a = b(Q\JO') означает (см. гл. И, теорема 4), что для некоторой конечной цепи а = х06х1В'х^х3в' ... хп=Ь, то очевидно, что 6 (J 6' есть объединение конечных произведений 66'66' ... Но в силу (1) и соотношений 62 = б, 6'2 = 6' это есть попросту 96' = б'6; следовательно, 6[je' = ee' = e'6.
Используя односторонний модулярный закон [см. гл. II, формула (4)], остается поэтому лишь доказать, что если 61>б2, то 6jfl(092)< (6ine)92- Предположим, чтоа^^) и a = fc(6G2), т. е. а^Ь(б1р(662)). Тогда для некоторого ха = х(6) и х = 6(62). Но 61>92; следовательно, x=b(ft-^). Так как также a ==6(6^ и бх транзитивно, мы заключаем, что х^а($^. Следовательно, z = a(6 P) QJ). Так как ж===6(62), мы получаем теперь непосредственно, что a=^fe((61 р| б)62).
Лемма. Пусть 6Х, 6а некоторые перестановочные отношения конгруентности на алгебре А такие, что 6Х f] 62 = 0, 6j (J 02 = /. Тогда А изоморфно прямому произведению At х А2, где AI есть гомоморфный образ А по mod64 (i=l, 2).
Доказательство. Пусть для элементов х, у,... из А и i=l, 2 символы Xi, г/i, ... обозначают классы вычетов А по mod Gj, содержащие соответственно х, г/, ... Очевидно тогда, что соответствие х—*(xi, xz) является гомоморфизмом А на подалгебру S алгебры А1 х А2. Так как 61П82 = 0> из х\=-У\ и xz = yz следует (я1; х2) = (г/х, у%), т. е. гомоморфизм является изоморфизмом. Так как 61е2 = 61 [J 9а = /, для любых (хь ж2) и (Ук У*) существует такое (zl( z2), что (xlt xz) = (z^ z2) (6j) и (zlr z2)^(y!, г/2)(62), т. е. такое, что ^ = 2! и 22 = г/2- Это означает, что для любых х± и г/2 (^х, у2) есть элемент из S\ следовательно, S = AlxAz, чем и завершается доказательство.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика