Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

120 гл. v. ДЕДЕКИНДОВЫ СТРУКТУРЫ
определяет отношение конгруентности 6(S). Кроме того, х = у (mod 6 (S)) тогда и только тогда, если х(J у = х f) у (mod 9 (5)), что случается, тогда и только тогда, если каждый простой фактор в любой максимальной цепи, соединяющей х f] у с х [J г/, принадлежит 5. Следовательно, 0 определяется множеством ? (6) и соответствие б —* S (б) взаимно однозначно. Очевидно, однако, что оно изотонно; следовательно, это соответствие есть изоморфизм.
Следствие. Дедекпндова структура конечной длины является «простой» (т. е. не имеет собственных отношений конгруентности) тогда и только тогда, если все ее простые факторы проективны.
Рассмотрим, далее, свободную дедекиндову структуру L с тремя образующими, изображенную в § 3 на фиг. 4. Непосредственный подсчет простых факторов показывает, что L может быть шестью способами гомоморфно отображена на дистрибутивную структуру 2 и одним способом на прямую М с тремя точками, изображенную на фиг. 1,в. Кроме того, М «просто». Отсюда следует, что если х, у, z какие-нибудь три элемента дедекиндовой структуры и если любые два элемента, отличные друг от друга в М, равны в подструктуре, порожденной элементами х, у, z, то х, у, z порождают дистрибутивную подструктуру. В результате нами доказана
Теорема 11. Элементы х, у, z дедекиндовой структуры порождают дистрибутивную подструктуру, если имеет место' одно из равенств х f| (у (J z) = (х |") у) \J (х |~] z) или x\J (yf]z) =
= (*U2/)n(*Uz).
Отсюда следует, что каждое из этих равенств является в действительности двойственным себе и симметричным условием относительно трех переменных х, у, z; ср. упр. 5 (а) § 3 и теорему 8 гл. VI.
Упражнения
1. Показать, что в метрической структуре д (х, у) + д(у, z) = d(x, z)-тогда и только тогда, если ?/? [х [~1 z, х (J z] (Питчер— Смайли).
2. Пусть v [х] принимает значения в упорядоченной группе G так, что выполняется VI.
(а) Показать, что если v \x] положительно, то L будет все еще дедекиндовой структурой.
(б) Показать, что если группа G коммутативна, то мы можем получить обобщение теоремы 9.
(в) Что будет в случае, если группа G не коммутативна?
3. Показать непосредственно, что если имеет место одно из равенств теоремы 11, то элементы х, у, z порождают структуру, изображенную на фиг. 6, а или ее структурно-гомоморфный образ. (Указание. Использовать упр. 4 § 3).
4. (а) Показать, что в метрической структуре все интервалы, проективные заданному интервалу [о, Ъ\, имеют одну и ту же длину v [b]—v[a].
(б) Установит^, что никакой интервал не может быть проективным своей собственной части.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика