Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

ГЛ. V. ДЕДЕКИНДОВЫ СТРУКТУРЫ
4. Показать, что если отношение конгруентности в дедекиндовой: структуре отождествляет две смешные вершины квадрата из элементов, связанных отношением покрытия, то оно отождествляет и две другие-вершины. (Указание. Если xsx Г\ У (6). то х (J У = у (в).)
5. (а) Вывести из упр. 4, что если х П (У U z) = (x Г) 2/) U (*U*) Для трех фиксированных элементов я, у, 2 дедекиндовой структуры, то справедливы также все 12 равенств, получаемых из данного путем перестановок х, у, z и перехода к двойственным выражениям.
(б) Показать, что это неверно в любой недедекиндовой структуре.
6. Пусть а : / (х, у, z) = g(x, у, z) — некоторое тождество, имеющее место в дедекиндовой структуре L. Показать, что или a) L состоит из одного единственного элемента, или б) а эквивалентно дистрибутивному закону, или в) а имеет место во всякой дедекиндовой структуре1). (Указание. Использовать упр. 4.)
7. Показать, что структура является подструктурой прямого произведения структуры 2 и структуры М5, описанной в упр. 2, тогда и только-тогда, если она удовлетворяет тождественно соотношениям
LSI. a U (х Г) 6) U (У П Ъ)>Ъ Л (a U *) Г) (в U У) П (* U У) L52. a U (х П ft) U (У П 6) U (* П !/) > Ъ Л (в U *) П (a U »)•
Проблема 27. (а) Удовлетворяют ли подгруппы коммутативной группы какому-либо тождеству, составленному из четырех элементов, не вытекающему из LI — L5?
(б) Тот же самый вопрос для п > 4.
(в) Те же вопросы для нормальных делителей некоммутативной группы.
Проблема 28. Решить проблему тождества для свободной дедекиндовой структуры с четырьмя образующими; с п образующими 2) .
Проблема 29. Определить свободную дедекиндову структуру, порожденную множеством 2+1 + 1 (Трэлл).
§ 4. Свободная дедекиндова структура, порожденная двумя цепями
Пусть L— произвольная структура и пусть 0 — х0<х1< ... ... < хт = 1 и 0 = у0<У1< ..-< уп = 1—две цепи в L между О и /. Очевидно, что множество элементов и*. = хг [~| у3- включает в .себя все х\ и у} (ибо Хг^\уп — х\, и хт Q у; = г/,-); двойственно этому множество элементов y = ?iU2/; также включает в себя
*) По поводу утверждения некоторых аналогичных результатов, а также в связи с проблемой 27 (а) см. Шутценбергер [2]. Автор опустил доказательство упр. 7; оно может быть сведено в силу теоремы 10 гл. VI и следствия из теоремы 10 гл. V к случаю, когда все простые факторы про-ективны. Тогда достаточно исключить случаи структуры 2 и структуры, изображенной на фиг. 1, Ъ.
2) Заметим, что проблема тождества для свободных структур была решена в гл. II, § 11. Т. Ивенс [1] решил проблему тождества для структур, заданных конечным числом определяющих соотношений. (Прим. ред.)

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика