Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

100 ГЛ. IV. ПОЛНЫЕ СТРУКТУРЫ
; В общем случае топологическая алгебра может быть определена г) как топологическое пространство с алгебраическими операциями, которые непрерывны в топологии. Руководствуясь этой идеей (хотя мы могли бы использовать также звездную сходимость или интервальную топологию), мы определим топологическую структуру как структуру с топологией, при которой
из хл-+х и 2/р— >г/ следует хл f] ур -» х П У и x*[]yf—*x\Jy. (12) В случае обычных последовательностей это эквивалентно условию
. (12')
Это условие не имеет места в общих структурах (см. ниже, упр. 3-4).
Лемма 3. Для того, чтобы (12) имело место в полной структуре при ее топологии упорядоченности, достаточно, чтобы выполнялось условие
из х„.\х следует а (~) жа f a f] ж и двойственно. (13)
Доказательство. (Условие, очевидно, необходимо.) Пусть в обозначениях (12) ма — пересечение элементов, следующих за хл, и Ур — пересечение элементов, следующих за у$; мы должны доказать, что ил (~|«р |ж f~| у; в силу двойственных соображений этим наше утверждение будет доказано. Но, очевидно, ил, «р и MI (~| »р изотопны; следовательно, достаточно доказать, что 8ир(мл |~| Of,) = х П у; это мы теперь и проделаем. Так как ж>иа иг/>«р, то х[}у >ма|~)г;р для всех а, [3, а потому х П у > > sup (и л fl Dp). Обратно, для всех а в силу (13) sup (ua f] »p) > >мл [~] supug = иа f) г/; следовательно, еще раз применяя .(13), имеем sup (иа [~)"Ур)>8ир(ва П У) = ;Г П ?/•
Мы получим теперь результат, напоминающий теорему 8; для его доказательства нам нужно понятие полунепрерывной функции.
Определение. Функция y = f(x), задающая отображение Т ^-пространства на частично упорядоченное множество, называется полунепрерывной снизу*), если из ха—±а и /(а;а)<с для всех Хь следует / (а) < с.
Теорема 16. Полунепрерывная снизу функция, задающая отображение компактного пространства S в частично упорядоченное множество Р, принимает минимальное значение.
г) По аналогии с предложенным Шрейером [1] определением топологической группы; ср. Л. С, Понтрягин [1], гл. III. По поводу топологических структур ср. [LT], стр. 37, а также Нахбин [1, 2, 3], Каутский [1].
3) Полунепрерывные снизу вещественнозначные функции полезны не только в общем анализе; они играют центральную роль в современных теоремах существования вариационного исчисления. Это показал Тонелли, «следуя Фреше.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика