Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Биркгоф Г.N. Теория структур
 
djvu / html
 

ДО ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ
2. (а) Показать, что если А — абстрактная алгебра и А§ — «фактор-алгебра» алгебры А по mod некоторого отношения конгруентности 0 на А, то отношения конгруентности на А^ «естественным» образом взаимно однозначно соответствуют отношениям конгруентности Ф на А, «включающим» в себя 0, в том смысле, что х = у (в) влечет за собой ж = у (Ф).
(б) В каком смысле это обобщает так называемую вторую теорему об изоморфизмах? (См. Ван-дер-Варден [1], т. I, стр. 185.)
3. (а) Показать, что если линейную алгебру рассматривать как группу с операторами умножения слева и справа на фиксированные элементы, то определенное выше понятие «подалгебры» будет эквивалентно обычному понятию «двустороннего идеала». Каким образом можно левые идеалы рассматривать как подалгебры^
(б) Показать, что если умножение на скаляр рассматривать также как операцию, то понятие «подалгебры» совпадает с обычным определением.
4. Пусть S— множество и G — какая-нибудь группа взаимно однозначных преобразований ?.
(а) Показать, что (G, S) можно рассматривать как алгебру с элементами из S и (одинарными) операциями из С.
(б) Показать, что «отношения конгруентности» на (G, S) соответствуют взаимно однозначно тому, что обычно называют разбиениями на «классы импримитивности».
5. Показать, что всякое равенство f(xt, ..., Xn) = h(xj, ..., а^), выполняющееся тождественно на множестве 91 алгебр, справедливо также в любой подалгебре, гомоморфном образе и прямом произведении алгебр из St.
6. Показать, что если алгебра имеет v операций и и образующих и если и бесконечно, то она содержит не более чем max (v, re) элементов.
7. Показать, что если А содержит г элементов, то свободная алгебра Fn (А) есть подалгебра алгебры А1"1 и содержит самое большее г'*1 элементов.
8. Показать, что алгебра А есть «свободная алгебра с п образующими» для некоторого множества алгебр (или постулатов) тогда и только тогда, если она содержит такие элементы аг, ..., ап, что любое соответствие Oi -»• а'{[а^?^4] может быть продолжено до эндоморфизма алгебры А.
9. Множество G образующих алгебры А называется «независимым», если никакое собственное подмножество множества G не порождает А. Пересечение максимальных подалгебр алгебры А назовем ее «Ф-подал-геброй». Показать, что если алгебра А конечна, то ее Ф-подалгебра состоит в точности из тех элементов, которые не встречаются ни в одном множестве независимых образующих алгебры А.
10 1). (а) Показать, что любая абстрактная группа G изоморфна группе всех автоморфизмов некоторой абстрактной алгебры А.
(б) Каково должно быть наименьшее / (п), такое, что если G содержит n^.N элементов, то можно найти А, содержащее не более чем f (N) элементов (нерешенная проблема). •
*) Упомянем работы Биркгофа [3, стр. 445], [21] и Фрухта [1, 2]. По аналогичной проблеме для групп Галуа см. Нетер [1].

 

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400


Математика