Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

790 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
в результате подстановки равенство:
<»(t—r)\d4(M,t — t), дч(М, t — т) . дч(М, t — т) - ~ - - ~ - -- -
t—r)\d4(M,t — t), дч(М, t — т) ~г - L 57 - г~1 Тх -
Но, в силу теоремы Эйлера об однородных функциях, мы имеем [I; 149]:
дч (Ж. t - -с) „ _, , арри. ;— *)„ | foow, ;— т).. , а? (ж, ;— т)_ - а/ V— v-i g^ i ^ JM ^ г-
Подставляя сюда t = t — г, убеждаемся в том, что равенство (229) выполнено, и, следовательно, формула (228) дает действительно решение уравнения (227).
Будем теперь искать специального вида решение уравнения (227), а именно:
(230) " =
где Кп(0, <р) — сферическая функция порядка п и ^(л;) — искомая функция.
Преобразуя уравнение (227) к сферическим координатам, получим [Н; 119]:
выражение (230) и принимая во внимание, что К (0, <р) удовлетворяет уравнению : 1 д
мы придем к следующему уравнению для 'И—):
или
(232) (1— *2) Чтобы найти fy(x)t напомним уравнение, которому удовлетворяют полиномы Лежандра [III; 172]:
[(1 — *«) Р'„ (х)}' + п (п + 1) Р„ (х) = 0. Введем полином степени (п-\-1):
(233) Qn+i
Интегрируя обе части предыдущего уравнения по промежутку (1, х), получим:
(1 _ у*)р'п (Х) 4- п (п + 1) Qn+1 (х) = О, или, в силу (233):
(1 _ *2) QH + , (х) + я (и + 1) Qn+ , (,v) = О,

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800


Математика