Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

740 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
248. Метод Фурье. Мы применяли часто раньше метод Фурье для решения предельных задач. Проведем обоснование этого метода, пользуясь теорией интегральных уравнений. Рассмотрим, в случае трех независимых переменных, однородное уравнение
(67) ut = ах, + иуу
в области В с контуром / при следующих условиях:
(68) «|f = 0=/(P) (Р из В);
(69) а |, = 0.
Метод Фурье дает формально решение этой задачи в виде:
со
(70) а(Р; /) = 2в*в~Х*ЧИ,
k=l
где Xfc, vk(P) — собственные значения и собственные функции уравнения
Дг» -[- to = О при предельном условии
(71) v, = Q
и ak — коэффициенты Фурье функции /(Р):
(72) Положим, что функция /(Р) сама непрерывна, имеет в замкнутой области В непрерывные производные до второго порядка и равна нулю на /. При этом [22]:
(73)
= 1 и написанный ряд регулярно сходится в В, т. е. ряд
оо
(74)
сходится равномерно в В.
Принимая во внимание, что 0^в~'ь*^1 при С^-0, мы можем утверждать, что и ряд (70) сходится регулярно> если Р принадлежит В и t^z-Q. Тем самым, его сумма а(Р, t) есть непрерывная функция Put, если Р принадлежит В и /^0. Отсюда следует:
со
lira а (Я; /) = к (Р; 0) == S akvk(P) =/
*-*Ч-0 ft— 1

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 760 770 780 790 800


Математика