Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

730 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Дифференцируя формулу (20) по х и устремляя х к /, получим, в силу (Н) и второго из условий (19):
. \c?(t
-" J bu=
и мы получаем опять для cp(t) и 4 (т) систему интегральных уравнений с ядрами, зависящими от разности (г — т).
244. Тепловые источники в многомерном случае. Идея потенциала может быть применена и к многомерным задачам теплопроводности. Мы ограничимся указанием результатов, которые аналогичны предыдущим. Доказательство свойств потенциалов в многомерном случае представляет значительно большие трудности по сравнению с одномерным случаем. Будем рассматривать плоский случай, т. е. уравнение:
(21) Щ = а2 (и,» + BW).
Пусть на плоскости (х, у) имеется область В с контуром /. Основное сингулярное решение, соответствующее источнику в точке (5, t\), действующему с момента времени т, имеет вид:
,,« 4°°(*~г) 0» = <«-*)» +(Ч-
Аналог потенциала простого слоя дается следующей формулой:
(22) „(,. у. t) = J- J Л J •&?,-&*=«*,
о i
где о ^-длина дуги контура /, отсчитываемая от некоторой фиксированной точки, и а (а, -с) — функция переменной точки я контура и параметра г. Через г обозначено расстояние от точки (х, у) до переменной точки а контура /. Тепловой потенциал двойного слоя представляется формулой:
/• rt ^ ______________
/OO\ - v * I i I 0 \^i ^/ (У 4O3 (t — t)
1ХФ ^ I xt у t) = л— I u*c I ——'-------------С ая,
2it J J t — г дп о г
где я — направление внешней нормали в переменной точке интегрирования, «Ли
| ____»•=
(230 ' ' " "~
где направление г считается из точки а в точку (_е, j»). Если ввести угол dtp, под которым элемент длины da виден из точки (л:, у), то предыдущую формулу можно переписать в виде:

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 750 760 770 780 790 800


Математика