Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

670 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Замечание 1. При доказательстве существования непрерывных производных второго порядка у объемного потенциала и формулы Пуассона достаточно предположить, что его плотность удовлетворяет в Df условию Липшица — вместо существования непрерывных производных первого порядка (см., например, Н. М. Г юн тер „La theorie du potentiel...."). Таким образом, наше утверждение о том, что формула (222) дает решение задачи (220), (221), справедливо, если <р (f) удовлетворяет условию Липшица:
(227) |?(Р2)— 9(Л) К^Ь Ка=|/У2!).
Если Принимая во внимание, что объемный потенциал с непрерывной плотностью является обобщенным решением уравнения (220) [160], мы можем утверждать, что формула (222) при непрерывности <р(Р) в замкнутой области D{ дает обобщенное решение уравнения (220), удовлетворяющее условию (221).
Покажем, что такое решение единственно. Положим, что существуют два непрерывных обобщенных решения и^(М) и и2(М) уравнения (220), удовлетворяющих условию (221). Мы имеем:
D
Я/-,л«*~ J/J
где о — любая функция с непрерывными производными до второго порядка в Df, равная нулю во всех точках достаточно близких к S. Вычитая почленно, получим:
JJJ (иа — в1) До *==<),
D,
откуда следует, что («2 — at) — гармоническая внутри Df функция [160]. Из того, что (и2 — и,) — непрерывна вплоть до 5 и равна нулю на 5 следует, что и2 тождественна с иг в D{.
Таким образом, при любой непрерывной функции «(Р) формула (222) дает единственное обобщенное решение уравнения (220), удовлетворяющее условию (221). Это решение имеет в D< непрерывные производные первого порядка [Н; 200].

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика