Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

660 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Докажем теперь симметрию функции Грина: (202) Q(P; Q)=G(Q- P).
При этом заметим, что. в силу доказанного выше. G(P; Q) имеет правильные нормальные производные на S. Внутри Д она имеет везде, кроме Q, непрерывные производные. Применим теперь формулу
Л' Г, л A NJ Г (V dv дгЛ.с
I (иДг> — 1уДи1а^= ый-------v—-)dS j - - j j \ an an/
v'i s'
к функциям и = G (P; Qj) и v = G (P; Q^), выбирая за область интегрирования Dt область Д- с исключением двух сфер с центрами в точках QJ и Q2 и с малым радиусом е. Такое применение возможно в силу вышесказанного. Тройней интеграл по этой области обратится в нуль, так как функции Грина вне полюсов удовлетворяют уравнению Лапласа. Интеграл по S обратится в нуль, в силу предельного условия (все равно какого), и, таким образом, мы придем к равенству:
s,
где 5j и S2 — поверхности вышеупомянутых сфер. В точке QQ функция С (Р; QJ) никаких особенностей не имеет, а функция О (Р; Q2)
обращается в точке Q2 в бесконечность порядка — . Принимая во
внимание, что произведение — на площадь поверхности сферы 4тгаа
стремится к нулю при s — > 0. мы видим, что единственные члены в написанной формуле, которые не будут стремиться к нулю при s— >Q, будут те члены, которые содержат нормальную производную от G (P', QJ) в окрестности той точки, где G = -j-oo. Таких членов будет два, и мы получим, взяв их сумму:
I г 1е ^ — if'"
44J j a(P:Q*)-?*s-&) j а
где t) — » 0 при е — *• 0, rt — расстояние переменной точки Р до Q^ и ^2 — расстояние переменной точки Р до Q2. В формуле Грина мы имеем внешнюю нормаль, следовательно в последних формулах нормаль должна быть направленной внутрь сфер, т. е. противоположно радиусу, и мы имеем:
S,
-ij

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика