Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

650
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
решением задачи Дирихле с предельными значениями да (Л/). Смысл этого выяснится в следующем параграфе.
Замечание. Указанное выше обобщенное решение задачи Дирихле и (М) при непрерывности функции ш (N) на границе / можно построить еще одним способом, который мы сейчас укажем. Продолжим функцию ш (Л/) на всю плоскость, сохраняя ее непрерывность. Положим далее, что Вп(п=1, 2, .. .) есть последовательность областей, которые лежат вместе со своими границами 1п внутри В и стремятся к S, так что всякая точка М, лежащая внутри В, находится внутри всех областей Вп, начиная с некоторого номера п. Области Вп могут быть, например, составленными из конечного числа кругов. Положим, что для областей Вп мы умеем решать задачу Дирихле с непрерывными значениями на /п.
Пусть ип(М) — решение задачи Дирихле для Вп, причем предельные значения на /„ задаются как продолжение функции ш (Л/), о котором мы говорили. Можно доказать, что при беспредельном возрастании п функции ип (М) стремятся к построенному выше обобщенному решению и (М) задачи Дирихле, причем это стремление равномерное во всякой замкнутой области, лежащей внутри В. Таким образом, оказывается, предел ип (М) не зависит ни от способа продолжения со (N), ни от выбора областей Вп. Важны лишь те свойства этих областей, о которых говорилось выше. Доказательство этих фактов можно найти в статье М. В, Келдыша (Успехи Математических наук, т. VIII).
218. Исследование граничных значений. Пока мы не делали никаких предположений о границе области В. Наложим теперь некоторое условие, в формулировке которого будет фигурировать некоторая фиксированная точка N0 границы области В. Множество граничных точек области В будем обозначать буквой /.
Условие I. Существует непрерывная в В и супергармоническая внутри В функция w (М) такая, что w (7V0) = 0 и w (М) > О в остальных точках В. Докажем теперь следующую теорему.
ТЕОРЕМА. Если выполнено указанное условие и граничная функция со (Л/) непрерывна в точке N0, то и (М) стремится к о> (/V0) при стремлении М к точке Л/0 изнутри области.
Обозначим через ^ множество тех точек области В, расстояние которых до Л0 не превышает -ц > 0. Пусть s — заданное положительное число. В силу непрерывности ш (N) в точке Nr, существует такое положительное число TJ, что для всех точек границы В, принадлежащих PTJ, выполняется неравенство:
(180) ш (ЛГ0) — г < <в (Л/) < ш (/V0) + е (Л/ на / и в $J. Построим непрерывную в В и субгармоническую внутри В функцию
(181) ^ (М) = со (Л/о) — s — Cv> (M),

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика