Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

640 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Построим последовательные приближения для и (Щ и v (M), как решения задач Дирихле при следующих предельных условиях:
на я, (0 на «2
на {За-При этом заметим, что разность со (W) — ul (Л/) равна нулю в точках Л^ и N2. Для вычисления следующих приближений полагаем:
на «j ГО на а2
на Р! ' re+1 \ ш (Л/)—ага+1 (N) на Р2.
Процесс будет сходящимся, и сумма (159) будет давать решение задачи.
Подробное изложение указанного метода можно найти в книге Л. В. Канторовича и В. И. Крылова „Приближенные методы высшего анализа", где этот метод применяется не только для уравнения Лапласа, но и для других уравнений эллиптического типа. Этот метод применим и для трехмерного случая.
Укажем еще на одну возможность применения метода Шварца. Нам придется сейчас иметь дело с решением внешней задачи Дирихле и, в связи с этим, мы будем рассматривать не плоский случай, а случай трехмерного пространства. Пусть в пространстве имеется п замкнутых поверхностей Sk(k=l, 2, ..., п), причем каждые две из этих поверхностей не имеют общих точек. Обозначим через О часть пространства, находящуюся вне всех поверхностей Sk, и через Dk — часть пространства, находящуюся вне Sj,. Положим, что мы умеем решить задачу Дирихле для всех Dk при любых непрерывных значениях на Sft, и покажем, каким образом можно при этом решить задачу Дирихле для D. Все области Dk и область D содержат внутри себя бесконечно далекую точку и, как обычно, при решении задачи Дирихле считается, что гармоническая функция равна нулю на бесконечности.
Итак, требуется найти функцию гармоническую внутри О и принимающую на поверхностях Sk заданные непрерывные значения:
(160) а =Д(ЛО (/г=1,2 ..... я).
На первом шаге находим при каждом k функции а0, ft (M) (k = = 1,2,..., я) — гармонические внутри Dk и принимающие значения fk(N} на Sj,. Далее находим функции ul,J((M) (k = \, 2, ...,п), гармонические внутри Dk, с предельными значениями:
(161) в,,*(ЛО = — 2«о.«(Л0 "a Sk (ft=l, 2, ..., п),
причем суммирование производится по всем / от i = 1 до / = кроме i = k.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика