Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

620 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Из доказанной теоремы непосредственно следует единственность решения задачи Неймана в следующем смысле:
Если гармоническая внутри Di функция и(М) непрерывна
вплоть до S, и (~ — -) = 0 на всей поверхности S, то и(М) — по-
стоянна. Пусть Л/о — та точка S, где и(М) имеет наименьшее значение. Из (122) непосредственно следует, что производная по нормали в точке Л/о не может стремиться к нулю, когда М —> Л/д. оставаясь на нормали. Если бы это было так, то из формулы конечных приращений мы получили бы:
г '
что противоречит (122).
Совершенно аналогично проводится доказательство единственности и для внешней задачи Неймана.
Приведенное выше доказательство было дано в совместной работе М. В. Келдыша и М. А. Лаврентьева (Доклады Академии Наук СССР, т. XVI; № 3; 1937 г.).
Если можно коснуться поверхности 5 изнутри сферой, то доказательство теоремы единственности проводится элементарно. (С. 3 а-ремба, Успехи математических наук, т. I, вып. 3 — 4).
208. Решение предельных задач в трехмерном случае. Рассмотрим внутренние задачи Дирихле и Неймана для области Of, ограниченной поверхностью S. Будем искать решение внутренней задачи Дирихле в виде потенциала двойного слоя:
(123) и(АГ) = Г (V(A/)cos(r; n) dS (r=\MN\),
s Г*
где г — есть направление MN и п — направление внешней нормали ,в точке N поверхности. Искомой является плотность р.(Л/). Согласно первой из формул (42), внутренняя задача Дирихле с предельным значением: (124)
равносильна следующему интегральному уравнению для плотности
(г0 = |
= f (
Вводя ядро
мы можем переписать последнее уравнение в виде: (125) {*(ЛГо) = /(ЛГо)+ ( U(yV)K(/V0; N)dS.
ll '

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика