Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

ПРИДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
будет однозначной и регулярной в окрестности бесконечно далекой точки и, следовательно, должна разлагаться в этой окрестности в ряд Лорана по целым степеням г. Покажем, что в этом разложении вовсе нет членов с положительными степенями z. Действительно, если бы таких членов было бы бесконечное множество, то функция f(z) при | z \ -*• оо могла бы принимать значения, сколь угодно близкие к любому наперед заданному числу [Ш2; 17], а на самом деле вещественная
часть функции, т. е. a (z) — HIT 1? |г \ или стремится к бесконечности,
если f ф. О, так как, по условию, и (г) имеет конечный предел, или имеет конечный предел при | z \ —> оо, если Y = 0.
Если бы членов с положительными степенями было конечное число, т. е. если бы
то мы имели бы:
(z == ре*?; am = ге*Ф; R — знак вещественной части).
Если разделить обе части равенства на р'" и устремить р к бесконечности при фиксированном <р, то левая часть будет очевидно стремиться к нулю, а правая будет иметь предел r cos (тч> -\- ^), зависящий от <э, который не всегда равен нулю. Мы придем, таким образом, к противоречию и, следовательно, в разложении f(z) будет только свободный член и члены с отрицательными степенями:
(105) /(2.)==ao
При z — *оо функция / (z) имеет конечный и определенный предел а0, и отсюда непосредственно вытекает, что постоянная -у должна быть равна нулю, т. е. если и (М) регулярна в бесконечно далекой точке и v(M) — сопряженная функция, то f (z) = и (z) -j- iv (z) имеет в окрестности бесконечно далекой точки разложение (105). Из предыдущих рассуждений непосредственно вытекает, что для получения этого результата достаточно предположить, что « (М) просто ограничена по абсолютной величине в окрестности бесконечно далекой точки. Отсюда уже будет вытекать разложение (105) и, тем самым, существование конечного предела у и (М) при стремлении точки М к бесконечности.
Внешняя задача Дирихле сводится к нахождению функции и (М), гармонической вне замкнутого контура /, регулярной на бесконечности и принимающей на контуре /заданные значения /(W). Пусть z0 — некоторая точка, находящаяся внутри /. Совершим конформное преобразо-

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика