Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Мы докажем сейчас теорему, которая уточнит это свойство ^'(М))- Эта теорема была впервые доказана А. М. Ляпуновым.
ТЕОРЕМА. При непрерывной плотности \>.(N) функция F(Ng) удовлетворяет условию:
Г59) \F(Nj-
где В и $ — положительные постоянные и г01 = \
Будем в дальнейшем условие (59) называть условием Липшица. Если /•„ г больше некоторой положительной величины, то мы можем, при любом заданном положительном р, удовлетворить этому неравенству путем соответствующего выбора постоянной В. Действительно, функция /"'(Л7)' как мы знаем, непрерывна на S н тем самым ограничена, т. е. | F (N) | •< Av и если r0tl^h^>0,
го, взяв В = — — , мы получим, очевидно, неравенство (59) при rol~^-h. Если
при гог<^Н мы получим в неравенстве (59) другое значение В, то, взяв наибольшее из двух полученных значений В, мы сможем написать (59) при всех
rf значениях год. Мы можем, таким образом, считать, например, что Г0>1 < -^ .
Мы имеем:
-Fm= Г f
JJ
где г о и FI векторы Л/oAf и Л^]Л^, а нимая во внимание (22), получим
(60)
IF(N,)-F(N0)\<.A
Г Г
и /i — их длины, и, следовательно, при-
COS (Г], П]) COS (Го, HO)
Вырежем часть cj поверхности S при помощи кругового цилиндра, ось которого есть нормаль к S в Л^о и радиус основания 2r0 r Разобьем интеграл по S на две части, по З] и по S — cj:
. _ (' Г i cos(rt,ni) cos (rn, i 75 2
./ J , '] 'o
(61)
cos (Г], n,) cos (r0, n0)
dS;
dS.
_ '1 'О
Вводя скалярное произведение векторов, можем написать:
COS (Т\, П]) COS (Го, По) __ Г] • nt Гр- Пр __
г2
• "т —
Г1
• П0
где, как всегда, По и HI — единичные векторы внешней нормали в точках Из написанного выше следует:
cos (n, nj) cos (г„, Пп
(62)
rQ-nQj
"Т"
L— ft • "oi

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика