Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

360 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
заданные функции, непрерывные в промежутке [а. Ь]. Поставим задачу о нахождении наименьшего значения интеграла
ь (108) С [ р (х) у'2 + ? (х) /] dx
при дополнительных условиях:
ь ь
(109) f r(x)y*dx=l; j* г (х) zk (х) у dx = О
о а
(&= 1. 2 ..... П - 1)
в классе функций у (х). удовлетворяющих предельным условиям и имеющих непрерывные производные до второго порядка. Мы не знаем заранее, будет ли интеграл (108) при поставленных условиях достигать наименьшего значения, но мы можем во всяком случае говорить о точной нижней границе значений этого интеграла. Эта точная нижняя граница будет, конечно, зависеть от выбора функций zk(x). Мы обозначим ее через m(zl. .... zn_1). Мы докажем сейчас следующую теорему Куранта: при любом выборе непрерывных функций zk(x) число т(г1, ..., zn_j) не превосходит собственного значения \п. Если при любом выборе функций Z;. мы сможем построить такую функцию у (х). удовлетворяющую условиям (109) и всем остальным требованиям, что соответствующее ей значение интеграла (108) не больше Ая. то число т (zt, .... zn) и подавно будет не больше лп. и теорема будет доказана. Будем искать функцию у(х) в виде:
(ПО) у = с1?1 (х) + - • • + '„'•?„ (х),
где (HI) с* + с»+... -4-<й=1.
Оставшиеся (п — 1) условий дадут систему (п — 1) однородных уравнений с п неизвестными с,. .... сп. Такая система, как известно [III; 10], имеет решения, отличные от нулевого. Всякое такое решение можно умножать на произвольный постоянный множитель, который можно выбрать так. чтобы выполнялось равенство (111). Таким образом, при помощи формулы (НО) мы построили функцию, имеющую непрерывные производные до второго порядка, удовлетворяющую предельным условиям и всем дополнительным условиям (109). Нам остается только подставить выражение (110) в интеграл (108) и убедиться, что величина этого интеграла окажется <1 Х„. После упомянутой подстановки под знаком интеграла мы будем иметь члены.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика