Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

550 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
и применение метода Фурье дает решение задачи в виде:
оо
(81) и (х, f) = 2 (ak cos VV + ?* sin /M) й = 1
где А? и ал (л:) — имеют прежние значения, а
ь ь
(• l (•
(82) ak= f(x)4b(x)dx; bk = ^ fl(x)^k(x)lix.
«/ г лй •/
a a
Как и в [183], нам достаточно показать, что ряд (81) и ряды, которые из него получаются при двукратном дифференцировании по I и х, будут равномерно сходящимися в промежутке [а. 6] при любом t.
Разобьем ряд (81) на два ряда и будем сначала рассматривать ряд:
ст.
(83) 2 ak cos/V?*(*).
ft=i
Принимая во внимание, что AJ. > 1 при всех достаточно больших k,
можно утверждать, что У^^<^. А.й при всех достаточно больших k. Если мы докажем при некоторых условиях, налагаемых на р (х). q (х) и / (х), что ряд
(84) 2 >-*i «*•?*•<*)!
fc=i
равномерно сходится в промежутке [а, Ь], то отсюда, повторяя бук вально рассуждения из [183], мы докажем все указанные выше утверждения о почленном дифференцировании ряда (81).
Действительно, это очевидно для самого ряда (83), ибо Afc -> -f- со, а для рядов, которые получаются дифференцированием по /. — в силу того, что У'ЛЬ < Ай при всех достаточно больших k. При однократном дифференцировании по х нам достаточно доказать равномерную сходимость ряда
2 ! aft(5ft (х) . A-=i
Она непосредственно вытекает из равномерной сходимости ряда (84) ;; силу формулы
X
«Ал4 (х) = у{ (х, | у2 (
-!-_)'2(-vl I .v, (l)/.fr«j.wfr(5)

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика