Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

520 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
или. в силу непрерывности функции Грина, т. е. в силу О (х. х -J- 0) — — G(,v, д: —0):
(Ю)
' = J G' (X, ;) /(;) d- + J О' U, ;) /ф «И :--=
<>" Ж
/*
== J G'U. :)/(?) Из формул (9) и (10) и того факта, что G(x, J) удовлетворяет предельным условиям (2), непосредственно вытекает, что и функция (9) удовлетворяет этим предельным условиям. Для проверки уравнения (8) дифференцируем у' еще один раз по х. После несложных преобразований получим:
ь у" = J Q" (х, «)/(?) & -\- К/ (х, х — 0) — Q' (х, х -j- 0)j f(x),
п
и из (о) вытекает:
Подставляя в левую часть (8) вместо у, у' и у'' их выражения (9), (10) и (11). получим:
&—f(X] = - f(x\.
т. е. уравнение (8) удовлетворено, ибо функция G(x, ?) является решением однородного уравнения L(y) — Q. Отметим еще, что из написанных выше формул непосредственно вытекает, что функция у. определяемая формулой (9), имеет во всем промежутке непрерывные производные до второго порядка. Мы приходим, таким образом, к следующему утверждению: Если л — 0 не есть собственное значение дифференциального уравнения (8), то это уравнение при любой заданной непрерывной в [а, Ь] функции f(x) имеет единственное решение, удовлетворяющее предельным условиям (2), и это решение определяется формулой (9). Можно еще сказать иначе: При любой заданной непрерывной функции f(x) функция (9) имеет, непрерывные производные до второго порядка, удовлетворяет уравнению (8) и предельным условиям (2).
Заметим, что если у(х) есть любая функция, имеющая непрерывные производные до второго порядка в промежутке [а, Ь\ и удовлетворяющая предельным условиям (2), то мы можем, подставляя эту

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика