Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

480 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
его решение в виде: и — Для уравнения (231) может быть поставлена задача Кош.и. Например, можно искать решение уравнения (231), если задана и и ее производная и,,, при х = 0:
(236) «U-o=/oOO; "xU=o = /, (у),
где /о(.У) и fi(y) — заданные аналитические функции у [1271. Эта задача будет иметь в окрестности х = О одно определенное решение. Однако такая постановка задачи является неестественной с физической точки зрения. Мы не знаем ни одной физической задачи, которая бы приводила к задаче Коши для уравнения (231). Покажем на примере, что и с математической точки зрения решение поставленной задачи может обладать существенным недостатком. Положим:
(237) /о 00 = 0 и /,00 = 1 sin (яу),
где п — заданное положительное число. Нетрудно проверить, что решение уравнения (231), удовлетворяющее этим начальным данным, будет:
аИХ___ />~" ПХ
(238) ae!__?_sln(/iy).
Пусть п —> сю. При этом начальное данное /, (у) стремится к нулю равномерно относительно у, ибо |sin(/z_y)| ^ 1, а решение (238) стремится к бесконечности, если х^О и пу отлично от кратного г.. Действительно, если, например, х > 0, то «-"*-> 0, а отношение ena7/z2—>со при п-»со, так как показательная функция епх растет быстрее, чем иа. Таким образом, при стремлении начальных данных к нулю само решение будет беспредельно возрастать. Иначе говоря, из приведенного примера мы видим, что решение задачи Коши для уравнения (231) не обладает свойством непрерывной зависимости от начальных данных. Для уравнения гиперболического типа такая непрерывная зависимость всегда будет иметь место [155].
Мы доказали аналитичность решений уравнения Лапласа для случая двух независимых переменных. То же самое будет иметь место и в случае трех независимых переменных:

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика