Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

470 овщля ткория УГАВНР.ИИЙ с ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
При четном п показатель степени в последнем интеграле равен единице, а при нечетном п — нулю. Таким образом, мы получаем:
1
/а/лд > - Г/1 dT(M)\ /2 (М0) <, с, J (^ — ?-L J
где постоянная с, зависит только от h. Обратимся к формуле (215). Коэффициент при / в правой ее части равен, при г<Г-=-, нулю
о
в силу (214). С другой стороны, принимая во внимание правило
dlf
дифференцирования сложной функции, можем утверждать, что ^
есть линейная комбинация производных порядка /по xlt . . . , хп с ограниченными коэффициентами. Принимая это во внимание, можем написать:
1 Г* ~дГ . . .
1 И
где и — ограниченная непрерывная функция и !«<,,••.« 1^<у'-*"~'. При l^k-\-l, т. с. /;> -^- М- 1, все коэффициенты в написанной формуле ограничены, и. принимая во внимание неравенство (xl -\- , , , , , . -f-.vn)2<; и (х\ -f- . . . -f-^n) и оценку (212), получаем, в силу (216):
где постоянная с зависит только от h. Если для целого положительного |3 имеет место неравенство / — $^-\~ Ы-1,т. е. Р то мы можем применить все предыдущие рассуждения, заменяя / на какую-либо частную производную от / порядка (3 и / — на (/ — [5). Таким образом мы и получим оценки (213). Теорема доказана. Эта теорема и приведенное доказательство принадлежат С. Л. Соболеву. Можно применить доказанную выше теорему и для оценки решений неоднородного волнового уравнения, предполагая достаточную дифференцируемость не только функций, входящих в начальные условия, но и свободного члена. Кроме того, приведенные выше рассуждения применимы и для обобщенного волнового уравнения [II; 188]:
и для случая любого числа независимых переменных в волновом уравнении.
157. Вспомогательные предложения. Мы изложим сейчас некоторые теоремы из теории функций, которые нам понадобятся в дальнейшем. Эти теоремы имеют место в эвклидовом пространстве любого числа измерений. Для простоты записи мы изложим их для случая плоскости.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика