Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

440 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
На Тг мы имеем r = s и, в силу (118), v будет порядка Igs. Так как slge-*0 при е -> 0, то мы можем утверждать, что интеграл (120) стремится к нулю вместе с е. Далее, мы имеем:
dv dv t — /ц
дч дг г
причем радикал надо считать положительным. На 7*Е:
и при s -> 0 этот радикал стремится к (t0 — t), ибо / < /0. Мы имеем таким образом:
1- С С dv ,с .. Г С ((—to) и , ,.
hm \u^-dS = — lim , ° -dydt —
s-s-oj J dv i->o.) J /(/ — ?о)2 — e2
T, '.
r"
= 2it J и (л:0, J0, О Л,
?'
где ^ — значение /, получаемое в точке пересечения прямой г = О с поверхностью Sv Таким образом, формула (119) дает:
где 52 — часть поверхности Sj, находящаяся внутри упомянутого выше конуса. Справа стоят данные величины, и, дифференцируя по /0, мы получаем окончательный результат:
D
Мы получили эту формулу, предполагая, что решение задачи существует. Строго говоря, мы должны еще проверить, что правая часть удовлетворяет всем условиям задачи. Это требует большого труда, так как при изменении ^0 меняется положение конуса (117). Если ?2 есть плоскость ^=0, то решение было нами получено раньше. Указанный метод решения задачи Коши принадлежит Вольтерра. Его подробное изложение можно найти в книге Вебстера и Сеге „Дифференциальные уравнения в частных производных математической физики" (т. II, глава 6).
С формулой Грина связан и другой метод решения задачи Коши, а именно метод Адамара. При применении этого метода берется решение уравнения M(v)=Q, которое обращается в бесконечность на всей боковой поверхности характеристического коноида или

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика