Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

430 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
В первом из написанных интегралов перепишем подинтегральную функцию в виде:
uyt} — vyu -\- 2auv = — (uv)y -\- 1<о(аи -j- иу)
и произведем интегрирование. Аналогичное преобразование применим и ко второму интегралу. В результате мы будем иметь следующую формулу:
(95) «(/>) = a (Q ^ (С) + J v (аи -j- ay) dy + fv (Ьа + их) dx.
СА СВ
Применим полученную формулу для доказательства одного свойства функции Римана. Заметим прежде всего, что оператором, сопряженным с оператором М (о), будет исходный оператор L (и). Действительно:
М (о) = vxy — av,,, — bvu -\-(с — ах — by) v, и сопряженный оператор будет:
L№ = :ixy + (аи)х + (*")*/ + (с — ах — ьу>и = = иху + аих + Ьау 4- си = Ци).
Применим формулу (95) к функции Римана и оператора М (v). В операторе М (v) коэффициенты при г^ и v,t равны ( — а) и ( — Ь) и, следовательно, функция Римана этого оператора есть решение уравнения (94), удовлетворяющее на прямых СА и СВ уравнениям: аа-\-иу=0 и 6u-\-ux = Q и, кроме того, мы должны иметь «((?)=!. Точка С(?, i\) будет играть при этом роль точки Р(х0, у0) функции (93). Пользуясь формулой (95) для этого частного случая, мы придем к следующей формуле:
и(х0,у0; Ч, i\] — »(?, -f\; x0,y0),
т. е. функция Римана (93) оператора L(u) переходит в функцию Римана сопряженного оператора М (v), если переставить у нее точки (х, у) и (х0, _у0). Если выражение M(v) совпадает с выражением L(v), то выражение или оператор L(u) называется самосопряженным, и для самосопряженного оператора функция Римана будет симметричной функцией тех двух точек, от которых она зависит. Принимая во внимание выражения для L (и) и М (v), нетрудно написать условия, при которых L (и) будет самосопряженным: а = b == 0. Задача определения решения уравнения (94) при задании значений самой функции на двух характеристиках называется обычно задачей с характеристическими начальными данными. Формула (95) совершенно так же, как и в случае задачи Коши, показывает, что задача с характеристическими начальными данными может иметь только одно решение.

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика