Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

410 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Преобразованное уравнение будет иметь вид:
аи • • + ... =0,
X
где
и невыписанные члены не содержат производной а ' '. В силу (51!
«jiBj
начальные данные для преобразованного уравнения задаются на гиперплоскости х'г = 0, т. е. они имеют специальный вид. Таким образом,
в данном случае мы можем воспользоваться условием (49), но только в новых независимых переменных. Принимая во внимание (52), мы можем, таким образом, утверждать, что для того, чтобы начальные данные Коши на гиперповерхности (50) приводили к несовместности или неопределенности при отыскании производных второго порядка, необходимо и достаточно, чтобы функция <о1 удовлетворяла уравнению:

V „ ди"- бо>1 — О а— '
причем это последнее уравнение должно быть удовлетворено при iDj = 0, т. е. иначе говоря, в силу уравнения (50). Всякую гиперповерхность, удовлетворяющую этому условию, мы назовем характеристической поверхностью или характеристикой уравнения (48).
Если мы фиксируем какую-либо точку Мй(х^\ . . ., х^>), то в этой точке коэффициенты aijc будут иметь фиксированные значения, которые мы обозначим а^'. Направление вектора, вещественные составляющие которого iv ..., «п удовлетворяют уравнению:
назовем характеристическим направлением нормали в точке ЛГ0. Уравнение (53) равносильно тому, что в каждой точке поверхности coj(.rj, ..., хп) = 0 направление нормали к этой поверхности есть характеристическое направление нормали. Если поверхность S (oij = 0) такова, что ни в одной ее точке направление нормали не характеристическое, т. е. левая часть уравнения (53) отлична от нуля вдоль всей поверхности, то из сказанного выше следует, что, совершая замену переменных (51), мы можем переписать уравнение (48) в виде:
11 П
(48,) ц . , = V а"., и • > -'- V а" и • ' -4- . , .,
-' • "; xx ' - u

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика