Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4
 
djvu / html
 

400 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
которое заменяет в этом случае условие (33). Окончательно, для специальных данных Коши (35) мы будем иметь следующие условия, определяющие характеристическую полосу:
(36) а=0; 2bdp-}-cdq = — hdy, du = qdy.
Условие а = 0 показывает, что из уравнения (28) нельзя найти ихх. Второе условие:
dy • dy
означает, что заданные на прямой дг = д:0 величины р и q таковы5 что удовлетворяется уравнение (28), ибо на упомянутой прямой
s = ^r и * = -:г- Третье условие дает очевидную формулу:
q\x=xa = 133. Производные высших порядков. В предыдущем параграфе мы рассмотрели вопрос об определении производных второго порядка на заданной полосе. Перейдем теперь к определению производных высших порядков. Положим, что мы имеем дело с тем случаем, когда определитель (31) отличен от нуля. Возьмем полный дифференциал от первых двух из уравнений (30) и продифференцируем заданное уравнение (28) по х и по _у. Таким образом мы будем иметь четыре уравнения первой степени для определения четырех производных третьего порядка от искомой функции и на заданной полосе:
dy иХ!
А,,
аад сиууу = •
Определитель этой системы имеет вид:
(dx)\ 2dxdy, (dy)\ 0
О, (dx? 2dxdy, (dyf
a, 2b, с, О
О, а, ЪЬ, с
Можно показать, что этот определитель равен квадрату определителя (31), т. е. тоже отличен от нуля. Действительно, обозначая через •[ какой-нибудь корень уравнения:
(37) а-\- 2^-f cf = 0,
прибавим к элементам первого столбца определителя AJ элементы второго столбца, умноженные на f, третьего столбца, умноженные на fa и четвертого столбца, умноженные на f8. Элементы первого столбца при этом окажутся следующими:
(dx -\-idy)*, Os 0,

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800


Математика